Qu'est-ce qu'une contrainte principale ?
Lorsqu'un élément de matière est sollicité en deux dimensions, les contraintes qui s'y exercent dépendent de l'orientation du plan de coupe. Les contraintes principales sont les contraintes normales maximale (\(\sigma_1\)) et minimale (\(\sigma_2\)) qui apparaissent sur des plans particuliers où la contrainte de cisaillement s'annule. Les ingénieurs s'appuient sur ces valeurs pour prévoir la plastification et la rupture des composants de structures et de machines soumis à des chargements combinés.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez les trois composantes de l'état de contrainte plane : la contrainte normale selon x (\(\sigma_x\)), la contrainte normale selon y (\(\sigma_y\)) et la contrainte de cisaillement (\(\tau_{xy}\)). Utilisez une unité cohérente, quelle qu'elle soit (MPa, ksi, psi). Le calculateur renvoie \(\sigma_1\), \(\sigma_2\), la contrainte de cisaillement maximale dans le plan \(\tau_{max}\), ainsi que l'angle principal \(\theta_p\) qui définit l'orientation des plans principaux.
La formule expliquée
Les contraintes principales s'obtiennent en faisant pivoter le tenseur des contraintes jusqu'à l'orientation où le cisaillement est nul :
$$\sigma_{1,2} = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^{2}}$$Le premier terme correspond à la contrainte normale moyenne (le centre du cercle de Mohr), tandis que le terme sous la racine carrée représente le rayon du cercle de Mohr, qui est égal à la contrainte de cisaillement maximale \(\tau_{max}\). L'angle principal vaut \(\theta_p = \tfrac{1}{2}\,\operatorname{atan2}(2\tau_{xy},\ \sigma_x - \sigma_y)\).
Exemple résolu
Pour \(\sigma_x = 50\), \(\sigma_y = 10\), \(\tau_{xy} = 20\) : moyenne \(= 30\), rayon \(= \sqrt{20^2 + 20^2} = \sqrt{800} \approx 28{,}28\). On obtient donc :
$$\sigma_1 \approx 58{,}28,\quad \sigma_2 \approx 1{,}72,\quad \tau_{max} \approx 28{,}28,\quad \theta_p = \tfrac{1}{2}\,\operatorname{atan2}(40,\ 40) = 22{,}5^\circ$$FAQ
Quelles sont les unités ? Le résultat est exprimé dans l'unité de contrainte que vous avez saisie : la formule est indépendante de l'unité, du moment que \(\sigma_x\), \(\sigma_y\) et \(\tau_{xy}\) partagent la même.
Que signifie une valeur de \(\sigma_2\) négative ? Une contrainte principale négative traduit une compression sur ce plan, tandis qu'une valeur positive indique une traction.
S'agit-il de contrainte plane ou de déformation plane ? Ces équations décrivent l'état de contrainte plane dans le plan (2D) ; la troisième contrainte principale, hors plan, est supposée nulle.
