主應力計算器

輸入計算

正應力 σx

正應力 σy

剪應力 τxy

數學公式

Show calculation steps (2)

1. Maximum Shear Stress

   

   tau_max equals the radius term R

2. Principal Angle

   

   theta_p in degrees from the half arctangent of 2*tau_xy over (sigma_x - sigma_y)

結果

最大主應力 σ₁

58.28

與輸入相同的單位

最小主應力 σ₂	1.72
最大剪應力 τmax	28.28
主平面角 θp	22.5°

什麼是主應力？

當材料元素承受二維載荷時，作用於其上的應力會隨切面方向而改變。主應力指的是在剪應力為零的特定平面上，所產生的最大（σ₁）與最小（σ₂）正應力。工程師會利用這兩個數值來預測結構件與機械零件在複合載荷下的降伏與破壞行為。

作用在二維平面應力單元上的應力分量 \(\sigma_x\)、\(\sigma_y\) 和 \(\tau_{xy}\)。

如何使用本計算器

請輸入平面應力狀態的三個分量：x 方向正應力（\(\sigma_x\)）、y 方向正應力（\(\sigma_y\)），以及剪應力（\(\tau_{xy}\)）。單位可自由選擇，但務必前後一致（MPa、ksi 或 psi 皆可）。計算器會回傳 \(\sigma_1\)、\(\sigma_2\)、面內最大剪應力 \(\tau_{max}\)，以及決定主平面方向的主角 \(\theta_p\)。

公式解析

主應力是將應力張量旋轉至剪應力為零的方向後所得：

$$\sigma_{1,2} = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^{2}}$$

第一項為平均正應力，也就是莫爾圓（Mohr's circle）的圓心；根號項則是莫爾圓的半徑，恰好等於最大剪應力 \(\tau_{max}\)。主角的計算式為 \(\theta_p = \frac{1}{2}\,\tan^{-1}\!\left(\frac{2\,\tau_{xy}}{\sigma_x - \sigma_y}\right)\)。

莫爾圓：水平軸上的主應力 \(\sigma_1\)、\(\sigma_2\) 和頂部的最大剪應力。

實際範例

以 \(\sigma_x = 50\)、\(\sigma_y = 10\)、\(\tau_{xy} = 20\) 為例：平均值 = 30，半徑 = \(\sqrt{20^2 + 20^2} = \sqrt{800} \approx 28.28\)。因此 \(\sigma_1 \approx 58.28\)、\(\sigma_2 \approx 1.72\)、\(\tau_{max} \approx 28.28\)，主角 \(\theta_p = \frac{1}{2}\,\text{atan2}(40, 40) = 22.5°\)。

常見問題

計算結果的單位是什麼？輸出會沿用您輸入的應力單位——只要 \(\sigma_x\)、\(\sigma_y\) 與 \(\tau_{xy}\) 採用相同單位，本公式不受單位限制。

\(\sigma_2\) 為負值代表什麼？主應力為負值表示該平面承受壓應力，正值則表示承受拉應力。

這是平面應力還是平面應變？這組公式描述的是面內（二維）平面應力狀態，假設垂直於平面方向的第三主應力為零。