什麼是彎曲應力？
彎曲應力是結構構件（例如樑）承受彎矩時，材料內部所產生的應力。它描述了截面上某一點的材料所承受的拉伸或壓縮程度。本計算器採用經典的撓曲公式 \(\sigma = M \cdot c / I\)，用來求出受載樑最外緣纖維處的最大彎曲應力。這是一套通用的工程工具，只要採用一致的 SI 國際單位，在任何地方都能適用。
如何使用本計算器
請輸入三個數值：以牛頓·公尺（\(\text{N}\cdot\text{m}\)）為單位的彎矩 \(M\)、以公尺（m）為單位由中性軸到最外緣纖維的距離 \(c\)，以及以公尺四次方（m⁴）為單位的慣性矩 \(I\)（截面二次矩）。計算器會同時以帕斯卡（Pa = N/m²）與百萬帕斯卡（MPa = N/mm²）給出彎曲應力，其中 MPa 是工程上最常用來與材料降伏強度比較的單位。
公式解析
撓曲公式 $$\sigma = \frac{M \cdot c}{I}$$ 源自樑的彎曲理論。彎矩愈大、纖維離中性軸愈遠，應力就愈高；而慣性矩愈大（即截面愈剛、愈深）則應力愈低。比值 \(I/c\) 通常稱為截面模數 \(S\)，因此這條公式也可以寫成 \(\sigma = M / S\)。
實例演算
假設一根樑承受 \(M = 1000 \ \text{N}\cdot\text{m}\) 的彎矩，外緣纖維距中性軸 \(c = 0.05 \ \text{m}\)，慣性矩為 \(I = 0.0000208 \ \text{m}^4\)。則 $$\sigma = \frac{1000 \times 0.05}{0.0000208} \approx 2{,}403{,}846 \ \text{Pa} \approx 2.4 \ \text{MPa}$$
常見材料的典型降伏強度
若要判斷計算出的彎曲應力是否可接受，應將其與材料的強度進行比較。以下數值是代表性的、用於工程比較的名義數字；在設計時務必使用特定等級和產品形式的認證性能。
| 材料 | 約降伏強度 (MPa) | 備註 |
|---|---|---|
| 結構鋼 ASTM A36 | ~250 | 常見的溫和結構鋼 |
| 高強度低合金鋼 (A572 Gr. 50) | ~345 | 較高強度的結構等級 |
| 淬硬及回火合金鋼 (A514) | ~690 | 高強度板 |
| 鋁 6061-T6 | ~276 | 降伏強度 (0.2% 應變偏移) |
| 灰鑄鐵 | ~ (脆性) — 抗拉強度 ~150–250 | 無明確降伏點；按終極強度/斷裂設計 |
| 結構木材 (軟木、彎曲) | ~10–50 (允許彎曲應力因樹種/等級而異) | 高度取決於等級 |
| 混凝土 | 壓縮強度 ~20–40；拉伸強度 ~2–5 | 抗拉/彎曲性能差；通常加筋 |
脆性材料（如灰鑄鐵和混凝土）不具有明確的降伏點，因此其彎曲容量由拉伸斷裂強度而非降伏強度控制。由於混凝土的拉伸強度非常低，在沒有鋼筋加固的情況下很少用於彎曲。
解讀您的彎曲應力結果
由 \(\sigma = M\,c/I\) 得到的值 \(\sigma\) 是外層纖維處的最大彎曲應力 — 即距離中性軸最遠的點 (距離 \(c\))。這是該截面中因彎曲產生的最大法向應力；應力從中性軸處的零線性變化到表面的峰值。這個數值對於檢查截面非常關鍵。
為了確保設計安全，該應力必須低於材料的允許應力，即降伏強度 (或脆性材料的斷裂強度) 除以安全係數：
$$\sigma_{\text{allow}} = \frac{\sigma_{\text{yield}}}{\text{FoS}}, \qquad \text{FoS} = \frac{\sigma_{\text{yield}}}{\sigma_{\text{actual}}}$$安全係數 (FoS) 表示零件實際承受的應力與開始失效應力之間存在的餘量。例如，如果鋼樑 (A36，\(\sigma_{\text{yield}} \approx 250\text{ MPa}\)) 承受的計算彎曲應力為 \(\sigma_{\text{actual}} = 100\text{ MPa}\)，則 \(\text{FoS} = 250 / 100 = \)2.5。典型的設計係數範圍約為 1.5 至 4 或更高，具體取決於載荷、失效後果和規範要求。
當 \(\sigma\) 達到降伏強度時，材料開始永久 (塑性) 變形 — 樑在卸載後將無法完全恢復原形。超過此點後，繼續加載會導致嚴重變形，最終導致斷裂。將彎曲應力保持在允許值以下且具有足夠的安全係數可以使樑保持在彈性範圍內，這是根據既定的材料力學原理的預期工作狀況。\(\sigma = M\,c/I\) 僅在其假設條件下使用：關於主軸的純彎曲中的棱柱形、均質、線性彈性樑。
這是一般工程資訊，不能替代您具體應用的合格專業工程師進行的分析和審查。
常見問題
\(c\) 是什麼？它是由中性軸到最外緣纖維的垂直距離；對於對稱截面而言，此值等於截面深度的一半。
如何求 \(I\)？對於寬度 \(b\)、高度 \(h\) 的矩形截面，\(I = b \cdot h^3 / 12\)。其他形狀則有各自的標準公式或可查表的數值。
結果是拉應力還是壓應力？兩面的應力大小相同——一側受拉，另一側則受壓。
