मुख्य प्रतिबल (Principal Stress) कैलकुलेटर

गणना दर्ज करें

अभिलंब प्रतिबल σx

अभिलंब प्रतिबल σy

अपरूपण प्रतिबल τxy

सूत्र (फॉर्मूला)

Show calculation steps (2)

1. Maximum Shear Stress

   

   tau_max equals the radius term R

2. Principal Angle

   

   theta_p in degrees from the half arctangent of 2*tau_xy over (sigma_x - sigma_y)

परिणाम

अधिकतम मुख्य प्रतिबल σ₁

58.28

इनपुट के समान इकाई

न्यूनतम मुख्य प्रतिबल σ₂	1.72
अधिकतम अपरूपण प्रतिबल τmax	28.28
मुख्य कोण θp	22.5°

मुख्य प्रतिबल (Principal Stress) क्या है?

जब किसी पदार्थ के अवयव पर दो दिशाओं में भार लगाया जाता है, तो उस पर लगने वाले प्रतिबल कटाव-तल के झुकाव (orientation) पर निर्भर करते हैं। मुख्य प्रतिबल वे अधिकतम (\(\sigma_1\)) और न्यूनतम (\(\sigma_2\)) अभिलंब प्रतिबल हैं जो उन विशेष तलों पर मिलते हैं जहाँ अपरूपण प्रतिबल शून्य हो जाता है। इंजीनियर इन मानों का उपयोग संयुक्त भार के अंतर्गत संरचनात्मक और मशीन के पुर्जों में पराभव (yielding) तथा विफलता का पूर्वानुमान लगाने के लिए करते हैं।

2D समतल-प्रतिबल अवयव पर कार्यरत प्रतिबल घटक \(\sigma_x\), \(\sigma_y\) और \(\tau_{xy}\)।

इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

समतल प्रतिबल अवस्था के तीनों घटक दर्ज करें: x-दिशा में अभिलंब प्रतिबल (\(\sigma_x\)), y-दिशा में अभिलंब प्रतिबल (\(\sigma_y\)) और अपरूपण प्रतिबल (\(\tau_{xy}\))। कोई भी एक समान इकाई इस्तेमाल करें (MPa, ksi, psi)। कैलकुलेटर आपको \(\sigma_1\), \(\sigma_2\), अधिकतम समतल-अंतर्गत अपरूपण प्रतिबल \(\tau_{max}\), और मुख्य तलों की दिशा बताने वाला मुख्य कोण \(\theta_p\) देता है।

सूत्र की व्याख्या

मुख्य प्रतिबल तब प्राप्त होते हैं जब प्रतिबल टेंसर को उस झुकाव पर घुमाया जाता है जहाँ अपरूपण शून्य होता है:

$$\sigma_{1,2} = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^{2}}$$

पहला पद औसत अभिलंब प्रतिबल है (मोर वृत्त का केंद्र), और वर्गमूल वाला पद मोर वृत्त की त्रिज्या है, जो अधिकतम अपरूपण प्रतिबल \(\tau_{max}\) के बराबर होती है। मुख्य कोण \(\theta_p = \frac{1}{2}\,\operatorname{atan2}(2\tau_{xy},\ \sigma_x - \sigma_y)\) से निकाला जाता है।

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मोह्र वृत्त: क्षैतिज अक्ष पर मुख्य प्रतिबल \(\sigma_1\), \(\sigma_2\) और शीर्ष पर अधिकतम अपरूपण।

हल किया हुआ उदाहरण

मान लीजिए \(\sigma_x = 50\), \(\sigma_y = 10\), \(\tau_{xy} = 20\): औसत = 30, त्रिज्या $$\sqrt{20^2 + 20^2} = \sqrt{800} \approx 28.28$$ अतः \(\sigma_1 \approx 58.28\), \(\sigma_2 \approx 1.72\), \(\tau_{max} \approx 28.28\), और \(\theta_p = \frac{1}{2}\,\operatorname{atan2}(40, 40) = 22.5°\)।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

इकाइयाँ क्या होती हैं? परिणाम उसी प्रतिबल इकाई में आता है जो आप दर्ज करते हैं — यह सूत्र इकाई-निरपेक्ष है, बशर्ते \(\sigma_x\), \(\sigma_y\) और \(\tau_{xy}\) एक ही इकाई में हों।

ऋणात्मक \(\sigma_2\) का क्या मतलब है? ऋणात्मक मुख्य प्रतिबल उस तल पर संपीडन (compression) दर्शाता है, जबकि धनात्मक मान तनाव (tension) दर्शाते हैं।

यह समतल प्रतिबल है या समतल विकृति? ये समीकरण समतल-अंतर्गत (2D) समतल प्रतिबल अवस्था का वर्णन करते हैं; तल के बाहर तीसरा मुख्य प्रतिबल शून्य माना जाता है।