Калькулятор главных напряжений

Введите расчет

Нормальное напряжение σx

Нормальное напряжение σy

Касательное напряжение τxy

Математическая формула

Show calculation steps (2)

1. Maximum Shear Stress

   

   tau_max equals the radius term R

2. Principal Angle

   

   theta_p in degrees from the half arctangent of 2*tau_xy over (sigma_x - sigma_y)

Результатов

Максимальное главное напряжение σ₁

58,28

в тех же единицах, что и ввод

Минимальное главное напряжение σ₂	1,72
Максимальное касательное напряжение τmax	28,28
Главный угол θp	22,5°

Что такое главные напряжения?

Когда элемент материала нагружен в двух измерениях, напряжения на его гранях зависят от ориентации секущей плоскости. Главные напряжения — это наибольшее (σ₁) и наименьшее (σ₂) нормальные напряжения, которые возникают на тех площадках, где касательные напряжения обращаются в ноль. Инженеры используют эти значения, чтобы прогнозировать текучесть и разрушение деталей конструкций и машин при сложном нагружении.

Компоненты напряжения \(\sigma_x\), \(\sigma_y\) и \(\tau_{xy}\), действующие на двумерный элемент в плоском напряжённом состоянии.

Как пользоваться калькулятором

Введите три компонента плоского напряжённого состояния: нормальное напряжение по оси x (\(\sigma_x\)), нормальное напряжение по оси y (\(\sigma_y\)) и касательное напряжение (\(\tau_{xy}\)). Используйте любые согласованные единицы (МПа, ksi, psi) — главное, чтобы все три величины были в одних и тех же единицах. Калькулятор выдаст \(\sigma_1\), \(\sigma_2\), максимальное касательное напряжение в плоскости \(\tau_{max}\) и главный угол \(\theta_p\), задающий ориентацию главных площадок.

Разбор формулы

Главные напряжения получаются поворотом тензора напряжений к ориентации, при которой касательные напряжения равны нулю:

$$\sigma_{1,2} = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^{2}}$$

Первое слагаемое — это среднее нормальное напряжение (центр круга Мора), а корень — радиус круга Мора, который как раз равен максимальному касательному напряжению \(\tau_{max}\). Главный угол находится как \(\theta_p = \frac{1}{2}\,\text{atan2}(2\tau_{xy},\, \sigma_x - \sigma_y)\).

Круг Мора: главные напряжения \(\sigma_1\), \(\sigma_2\) на горизонтальной оси и максимальное касательное напряжение наверху.

Пример расчёта

Пусть \(\sigma_x = 50\), \(\sigma_y = 10\), \(\tau_{xy} = 20\): среднее = 30, радиус = \(\sqrt{20^2 + 20^2} = \sqrt{800} \approx 28{,}28\). Тогда \(\sigma_1 \approx 58{,}28\), \(\sigma_2 \approx 1{,}72\), \(\tau_{max} \approx 28{,}28\), а \(\theta_p = \frac{1}{2}\,\text{atan2}(40, 40) = 22{,}5°\).

Частые вопросы

В каких единицах получается результат? Результат выдаётся в тех же единицах напряжения, что вы ввели — формула не зависит от единиц, пока \(\sigma_x\), \(\sigma_y\) и \(\tau_{xy}\) заданы в одной и той же системе.

Что означает отрицательное \(\sigma_2\)? Отрицательное главное напряжение указывает на сжатие на этой площадке, а положительное — на растяжение.

Это плоское напряжённое или плоское деформированное состояние? Эти уравнения описывают плоское напряжённое состояние (2D, в плоскости); третье главное напряжение, действующее перпендикулярно плоскости, принимается равным нулю.