Калькулятор объёма усечённого конуса

Введите расчет

Радиус нижнего основания (R)

Радиус верхнего основания (r)

Высота (h)

Результатов

Объём усечённого конуса

513,13

кубические единицы

Формула	V = (1/3)·π·h·(R² + R·r + r²)

Что такое усечённый конус?

Усечённый конус — это тело, которое получается, если срезать вершину обычного конуса плоскостью, параллельной его основанию. У него два круглых основания: большее нижнее радиусом R и меньшее верхнее радиусом r, расположенные на перпендикулярной высоте h друг от друга. В жизни такую форму имеют стаканы, вёдра, цветочные горшки, абажуры и зерновые силосы.

Усечённый конус с радиусом основания R, радиусом верхнего основания r и высотой h.

Как пользоваться калькулятором

Введите радиус нижнего основания (R), радиус верхнего основания (r) и вертикальную высоту (h) в любых единицах измерения — главное, чтобы они были одинаковыми. Калькулятор покажет объём в соответствующих кубических единицах. Если вам известны только диаметры, сначала разделите каждый из них на 2, чтобы получить радиус. Радиусы могут быть равными (тогда получится цилиндр), а верхний радиус может равняться нулю (тогда выйдет полный конус).

Разбираем формулу

Объём усечённого конуса вычисляется по формуле $$V = \frac{1}{3}\pi\,\text{Height (h)}\left(\text{R}^{2} + \text{R}\,\text{r} + \text{r}^{2}\right)$$ Выражение в скобках \(R^{2} + R\cdot r + r^{2}\) объединяет вклад обоих оснований. При \(r = R\) формула превращается в \(\pi\cdot R^{2}\cdot h\) (объём цилиндра), а при \(r = 0\) — в \(\frac{1}{3}\pi\cdot R^{2}\cdot h\) (объём конуса). Это подтверждает, что в обоих крайних случаях она работает корректно.

Реклама

Усечённый конус — это большой конус без маленького конуса, срезанного сверху.

Пример расчёта

Допустим, у ведра нижний радиус \(R = 5\) см, верхний радиус \(r = 3\) см и высота \(h = 10\) см. Тогда \(R^{2} + R\cdot r + r^{2} = 25 + 15 + 9 = 49\). Значит, $$V = \frac{1}{3}\cdot\pi\cdot 10\cdot 49 = \frac{490}{3}\pi \approx 513{,}13\ \text{см}^{3}$$

Частые вопросы

Важно ли, какой радиус сверху? Нет. Формула симметрична относительно R и r, поэтому при их перестановке объём не изменится.

Какие единицы измерения использовать? Подойдут любые единицы длины, лишь бы все три значения были выражены в одних и тех же; результат получится в той же единице, возведённой в куб.

Нужна ли образующая (наклонная высота)? Для объёма — нет, используется только перпендикулярная высота h. Образующая нужна для расчёта площади поверхности, но не объёма.