स्वतंत्र घटनाओं की प्रायिकता कैलकुलेटर (P(A और B), P(A या B))

गणना दर्ज करें

परिणाम

P(A और B) — दोनों घटनाएँ घटित होती हैं

0.2

प्रायिकता

P(A या B) — कम-से-कम एक घटित होती है	0.7
P(कोई नहीं) — कोई भी घटित नहीं होती	0.3

स्वतंत्र घटनाओं की प्रायिकता कैलकुलेटर क्या है?

यह कैलकुलेटर दो स्वतंत्र घटनाओं A और B की संयुक्त प्रायिकता निकालता है। दो घटनाएँ स्वतंत्र तब कहलाती हैं जब एक के घटित होने से दूसरी की प्रायिकता पर कोई असर नहीं पड़ता — जैसे एक सिक्का उछालना और एक पासा फेंकना। बस हर घटना की अलग-अलग प्रायिकता दर्ज करें और तुरंत जान लें कि दोनों के घटित होने, कम-से-कम एक के घटित होने और किसी के भी न घटित होने की संभावना कितनी है।

इसका इस्तेमाल कैसे करें

घटना A और घटना B की प्रायिकता को 0 से 1 के बीच की संख्या के रूप में दर्ज करें (50% प्रायिकता का मतलब है 0.5)। फिर गणना करें वाले बटन पर क्लिक करें। यह टूल आपको ये परिणाम देता है:

P(A और B) — दोनों घटनाएँ घटित होती हैं।
P(A या B) — कम-से-कम एक घटना घटित होती है।
P(कोई नहीं) — कोई भी घटना घटित नहीं होती।

सूत्र की व्याख्या

स्वतंत्र घटनाओं के लिए संयुक्त प्रायिकता बस अलग-अलग प्रायिकताओं का गुणनफल होती है:

$$P(A \cap B) = \text{P(A)} \times \text{P(B)}$$

कम-से-कम एक घटना के घटित होने की प्रायिकता समावेशन–अपवर्जन नियम (inclusion–exclusion) से निकाली जाती है, जहाँ ओवरलैप वाला हिस्सा गुणनफल के बराबर होता है क्योंकि दोनों घटनाएँ स्वतंत्र हैं:

$$P(A \cup B) = \text{P(A)} + \text{P(B)} - \text{P(A)} \times \text{P(B)}$$

किसी के भी न घटित होने की प्रायिकता पूरकों (complements) का गुणनफल होती है:

$$P(\text{neither}) = \left(1 - \text{P(A)}\right)\left(1 - \text{P(B)}\right)$$

एक आयत के भीतर A और B नामांकित दो अतिव्यापी वृत्त, जिसमें छोटा अतिव्यापन क्षेत्र हाइलाइट किया गया है — P(A और B) दोनों वृत्तों के अतिव्यापन को दर्शाता है।

हल किया हुआ उदाहरण

मान लीजिए $P(A) = 0.5$ और $P(B) = 0.4$। तब:

$$P(A \cap B) = 0.5 \times 0.4 = 0.20$$
$$P(A \cup B) = 0.5 + 0.4 - 0.20 = 0.70$$
$$P(\text{neither}) = (1 - 0.5)(1 - 0.4) = 0.5 \times 0.6 = 0.30$$

ध्यान दें कि $P(A \cup B) + P(\text{neither}) = 0.70 + 0.30 = 1.00$ होता है — अपने उत्तर की जाँच करने का यह एक आसान तरीका है।

प्रायिकता वृक्ष आरेख जो एक आरंभ नोड से A और गैर-A में शाखाबद्ध होता है, और प्रत्येक B और गैर-B में विभाजित होता है — एक प्रायिकता वृक्ष दिखाता है कि स्वतंत्र परिणाम गुणन द्वारा कैसे संयोजित होते हैं।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

"स्वतंत्र" का क्या मतलब है? घटनाएँ तब स्वतंत्र होती हैं जब एक का परिणाम जानने से दूसरी के बारे में कुछ भी पता नहीं चलता। गुणन नियम $P(A \cap B) = \text{P(A)} \cdot \text{P(B)}$ सिर्फ़ स्वतंत्र घटनाओं पर ही लागू होता है।

क्या मैं प्रतिशत दर्ज कर सकता हूँ? पहले उसे दशमलव में बदलें: 25% का मतलब है 0.25। सभी इनपुट 0 और 1 के बीच होने चाहिए।

अगर घटनाएँ स्वतंत्र न हों तो क्या? तब आपको सशर्त प्रायिकता (conditional probability) का इस्तेमाल करना होगा, यानी $P(A \cap B) = \text{P(A)} \cdot P(B|A)$, और ऐसी स्थिति में यह कैलकुलेटर परिणाम को ज़रूरत से ज़्यादा या कम बता देगा।

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