Qu'est-ce qu'un triangle 30-60-90 ?
Un triangle 30-60-90 est un triangle rectangle particulier dont les trois angles mesurent 30°, 60° et 90°. Comme ces angles sont fixes, les longueurs des côtés respectent toujours le rapport constant \(1 : \sqrt{3} : 2\). Le côté le plus court (le petit côté) est opposé à l'angle de 30°, le grand côté est opposé à l'angle de 60°, et l'hypoténuse — le plus long des trois — fait face à l'angle droit. Cette structure prévisible fait de ce triangle un grand classique de la géométrie, de la trigonométrie, du dessin technique et de la construction.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez la longueur du petit côté (celui opposé à l'angle de 30°) dans l'unité de votre choix. Le calculateur affiche aussitôt l'aire en unités carrées, ainsi que le grand côté, l'hypoténuse et le périmètre complet : vous obtenez ainsi une description intégrale du triangle à partir d'une seule mesure.
La formule expliquée
Les deux côtés de l'angle droit sont perpendiculaires : ils jouent donc le rôle de base et de hauteur. Dans un triangle 30-60-90, le petit côté vaut \(x\) et le grand côté vaut \(x\sqrt{3}\). La formule de l'aire ½ · base · hauteur devient :
$$A = \tfrac{1}{2} \cdot x \cdot (x\sqrt{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}\,x^2$$
Le grand côté est égal à \(x\sqrt{3}\), l'hypoténuse à \(2x\), et le périmètre correspond à la somme des trois côtés.
Exemple résolu
Supposons que le petit côté mesure 5 unités. On obtient alors :
$$A = \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 5^2 = (0{,}8660254)\cdot 25 \approx 21{,}65 \text{ unités carrées}$$ Le grand côté \(= 5\sqrt{3} \approx 8{,}66\), l'hypoténuse \(= 2\cdot 5 = 10\), et le périmètre \(\approx 5 + 8{,}66 + 10 = 23{,}66\) unités.
Côté court, aire et périmètre en un coup d'œil
Dans un triangle 30-60-90, les trois côtés suivent toujours le ratio \(1 : \sqrt{3} : 2\). Si le côté court (opposé à l'angle de 30°) est \(x\), alors le côté long est \(x\sqrt{3}\), l'hypoténuse est \(2x\), et l'aire est \(\frac{\sqrt{3}}{2}x^2\). Le périmètre est la somme de tous les trois côtés : \(x + x\sqrt{3} + 2x = x(3 + \sqrt{3})\).
| Côté court (x) | Côté long (x√3) | Hypoténuse (2x) | Aire (√3/2·x²) | Périmètre |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1.73 | 2 | 0.87 | 4.73 |
| 2 | 3.46 | 4 | 3.46 | 9.46 |
| 5 | 8.66 | 10 | 21.65 | 23.66 |
| 10 | 17.32 | 20 | 86.60 | 47.32 |
| 20 | 34.64 | 40 | 346.41 | 94.64 |
Puisque chaque dimension s'échelonne avec \(x\), doubler le côté court double le périmètre mais multiplie l'aire par quatre.
Constantes utilisées dans le calcul
Les proportions fixes d'un triangle 30-60-90 proviennent d'une poignée de constantes. Savoir où chacune apparaît rend la formule d'aire facile à appliquer à la main.
| Constante | Valeur approximative | Où elle apparaît |
|---|---|---|
| \(\sqrt{3}\) | 1.7320508 | Multiplicateur pour le côté long : côté long = \(x\sqrt{3}\). |
| \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) | 0.8660254 | Coefficient dans la formule d'aire \(A = \frac{\sqrt{3}}{2}x^2\), puisque aire = ½·(côté court)·(côté long) = ½·\(x\)·\(x\sqrt{3}\). |
| Ratio des côtés | \(1 : \sqrt{3} : 2\) | Côté court : côté long : hypoténuse — la relation définissante qui vous permet de trouver chaque côté uniquement à partir de \(x\). |
La valeur \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) est aussi \(\sin 60^\circ\) (équivalemment \(\cos 30^\circ\)), ce qui explique pourquoi elle gouverne à la fois le côté long et l'aire de ce triangle.
FAQ
Quel est le « petit côté » ? C'est le côté opposé à l'angle de 30°, toujours le plus court des trois.
Puis-je utiliser le grand côté à la place ? Cet outil attend le petit côté. Si vous connaissez le grand côté L, divisez-le par \(\sqrt{3}\) pour obtenir le petit côté \(x = L/\sqrt{3}\), puis saisissez cette valeur.
Dans quelle unité l'aire est-elle exprimée ? L'aire est exprimée dans le carré de l'unité saisie : entrez des centimètres et vous obtenez des centimètres carrés.
