双曲線余接（coth）計算ツールとは？
このツールは、入力した任意の実数に対する双曲線余接（coth）を求めます。双曲線関数は物理学・工学・高等数学のさまざまな場面で登場し、たとえば垂れ下がるケーブルの形状（懸垂線・カテナリー）のモデル化、熱伝導、特殊相対性理論、電気伝送線路の解析などに使われます。指数関数を手計算する手間をかけずに、値を1つ入力するだけで正確な結果が瞬時に得られます。
使い方
入力欄は1つだけです。
- 数値（x）：双曲線余接を求めたい値です。正の数でも負の数でも入力できます。
1つだけ重要な制約があります。x に 0 は入力できません。sinh(0) = 0 となるため、coth(0) は0による除算となり、定義されません。このツールでは、答えがどのように導かれるかを確認できるよう、計算の元となる sinh(x)、cosh(x)、eˣ、e⁻ˣ の各値もあわせて表示します。
計算式の解説
双曲線余接は、双曲線余弦を双曲線正弦で割った比として定義されます。
- coth(x) = cosh(x) / sinh(x)
- ここで sinh(x) = (eˣ − e⁻ˣ) / 2、cosh(x) = (eˣ + e⁻ˣ) / 2 です。
これらを代入すると、指数関数を用いた等価な形になります：coth(x) = (eˣ + e⁻ˣ) / (eˣ − e⁻ˣ)。本ツールは sinh と cosh を直接計算し、cosh を sinh で割るという、この式どおりの手順で値を求めています。
計算例
たとえば x = 2 を入力した場合：
- eˣ = e² ≈ 7.389056
- e⁻ˣ = e⁻² ≈ 0.135335
- sinh(2) = (7.389056 − 0.135335) / 2 ≈ 3.626860
- cosh(2) = (7.389056 + 0.135335) / 2 ≈ 3.762196
- coth(2) = 3.762196 / 3.626860 ≈ 1.037315
つまり coth(2) ≈ 1.0373 となります。x が大きくなるほど、coth(x) は 1 に近づいていく点に注目してください。
よくある質問
なぜ 0 を入力できないのですか？x = 0 のとき sinh(0) = 0 となり、0による除算は定義されません。coth(x) はこの点で垂直漸近線を持つため、有限の値は存在しません。
coth が取りうる値の範囲は？x が正のときは常に 1 より大きく、x が増えるにつれて 1 に近づいていきます。x が負のときは常に −1 より小さく、x が減るにつれて −1 に近づきます。−1 から 1 の間の値を取ることはありません。
coth と tanh の関係は？双曲線余接は双曲線正接の逆数です：coth(x) = 1 / tanh(x)。tanh(x) の値が分かっていれば、その逆数を取ることで coth(x) を求められます。
