什麼是變異數與標準差計算器？
這個計算器會接收您輸入的一組數字，同時算出母體變異數與樣本變異數，並換算成對應的標準差。變異數用來衡量每個數值距離平均數有多遠，而標準差則把這種離散程度還原成與原始資料相同的單位，更容易直觀解讀。
如何使用
把您的資料以逗號或空格分隔後輸入（例如 4, 8, 15, 16, 23, 42），再按下計算。工具會回傳平均數、總和、平方和、兩種變異數，以及兩種標準差。
公式解析
母體變異數是把離差平方和除以 N：\(\sigma^2 = \sum(x_i - \mu)^2 / N\)。樣本變異數則改用 \(n - 1\)（貝索校正，Bessel correction），以便從樣本得到不偏估計：\(s^2 = \sum(x_i - \bar{x})^2 / (n - 1)\)。標準差就是變異數開平方根而已。
$$\sigma^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2, \quad \sigma = \sqrt{\sigma^2}$$$$s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2, \quad s = \sqrt{s^2}$$
實際範例
以 4、8、15、16、23、42 為例，平均數為 \(108 \div 6 = 18\)。各項離差平方分別為：\((4-18)^2=196\)、\((8-18)^2=100\)、\((15-18)^2=9\)、\((16-18)^2=4\)、\((23-18)^2=25\)、\((42-18)^2=576\)，總和為 910。母體變異數 \(= 910 \div 6 \approx 151.67\)；樣本變異數 \(= 910 \div 5 = 182\)。
常見問題
該用樣本變異數還是母體變異數？當您的資料涵蓋整個群體（全部成員）時，使用母體變異數；當資料只是從更大母體中抽取的一部分樣本時，則使用樣本變異數。
為什麼要除以 \(n - 1\)？因為用樣本去估計母體變異數時會偏低，除以 \(n - 1\) 正好可以修正這個向下偏誤，得到較準確的估計值。
可以輸入負數嗎？可以，本工具接受任何實數。
