공전 주기 계산기란?
이 계산기는 어떤 천체가 자신보다 훨씬 무거운 중심 천체를 한 바퀴 도는 데 걸리는 시간을, 뉴턴 형태로 표현된 케플러 제3법칙을 이용해 구해 줍니다. 궤도의 반장축(미터 단위)과 중심 천체의 질량(킬로그램 단위)을 입력하면 됩니다. 예를 들어 별을 도는 행성이나 지구를 도는 위성을 떠올리면 됩니다. 입력값을 넣으면 공전 주기를 초, 시간, 일, 연 단위로 한꺼번에 보여 줍니다.
사용 방법
두 가지 값만 입력하면 됩니다. 하나는 반장축 \(a\)로, 원 궤도라면 단순히 궤도 반지름과 같습니다. 다른 하나는 중심 천체의 질량 \(M\)입니다. 두 값 모두 0보다 커야 합니다. 기본값은 태양을 도는 지구의 궤도(\(a \approx 1.496\times10^{11}\ \text{m}\), \(M \approx 1.989\times10^{30}\ \text{kg}\))로 설정되어 있으며, 계산하면 약 1년이라는 결과가 나옵니다.
공식 풀이
공전 주기는 다음과 같이 구합니다.
$$T = 2\pi \sqrt{\dfrac{a^{3}}{G \cdot M}}$$궤도 크기의 세제곱을 중력 상수와 중심 질량의 곱으로 나눈 값이, 중력이 도는 천체를 한 바퀴 끌어당기는 데 걸리는 시간을 결정합니다. 여기서 주목할 점은 도는 천체 자신의 질량은 식에 등장하지 않는다는 것입니다. 도는 천체가 중심 천체보다 훨씬 가벼운 일반적인 경우에는 이 질량이 상쇄되어 사라지기 때문입니다.
계산 예시
지구(\(M = 5.972\times10^{24}\ \text{kg}\)) 주위를 \(a = 6.771\times10^{6}\ \text{m}\)로 도는 저궤도(LEO)의 경우:
$$T = 2\pi \sqrt{\dfrac{(6.771\times10^{6})^{3}}{6.674\times10^{-11} \times 5.972\times10^{24}}} \approx 5{,}545\ \text{초}$$즉 약 92분이 됩니다. 이는 국제우주정거장(ISS)의 실제 공전 주기와 정확히 일치합니다.
자주 묻는 질문
어떤 단위를 사용해야 하나요? SI 단위를 사용하세요. 반장축은 미터, 질량은 킬로그램으로 입력합니다. 중력 상수 \(G\)는 \(6.674\times10^{-11}\)로 고정되어 있습니다.
도는 천체의 질량도 중요한가요? 도는 천체가 중심 천체보다 훨씬 가벼울 때는 영향이 거의 없습니다. 그래서 이 공식에서는 그 질량을 무시합니다.
타원 궤도에도 사용할 수 있나요? 네, 가능합니다. 이때는 순간 반지름이 아니라 반장축(근일점 거리와 원일점 거리의 평균)을 사용하면 됩니다.
