케플러 제3법칙이란?
케플러의 행성 운동 제3법칙은 천체의 공전 주기의 제곱이 궤도 긴반지름의 세제곱에 비례한다는 법칙입니다. 뉴턴 역학으로 정리된 형태에서는 이 비례 상수가 만유인력 상수 G와 공전의 중심이 되는 천체의 질량 M에 따라 결정됩니다. 이 계산기는 바로 이 물리식을 사용하므로, 단 두 개의 값만으로 인공위성·위성·행성·항성 등 어떤 천체의 공전 주기도 구할 수 있습니다.
계산기 사용법
먼저 중심 천체의 질량을 킬로그램(kg) 단위로 입력하세요. 예를 들어 태양은 약 \(1.989 \times 10^{30}\) kg, 지구는 약 \(5.972 \times 10^{24}\) kg입니다. 그다음 궤도의 긴반지름을 미터(m) 단위로 입력합니다. 거의 원에 가까운 궤도라면 이 값은 곧 궤도 반지름과 같습니다. 계산기는 공전 주기를 초·일·년 단위로 보여줍니다. 1.496e11처럼 지수 표기법으로도 입력할 수 있습니다.
공식 풀이
전체 식은 $$T^{2} = \frac{4\pi^{2}}{G \cdot M} \cdot a^{3}$$ 이며, 이를 정리하면 $$T = 2\pi \cdot \sqrt{\frac{a^{3}}{G \cdot M}}$$ 가 됩니다. 여기서 \(G = 6.674 \times 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^{2}/\text{kg}^{2}\) 입니다. 주기는 거리의 세제곱의 제곱근에 비례하므로, 궤도 반지름이 2배가 되면 주기는 약 2.83배 늘어납니다.
계산 예시
태양 주위를 도는 지구를 예로 들어 보겠습니다. \(M = 1.989 \times 10^{30}\) kg, \(a = 1.496 \times 10^{11}\) m 입니다. \(a^{3} = 3.348 \times 10^{33}\), \(G \cdot M = 1.328 \times 10^{20}\) 이므로, $$T = 2\pi \cdot \sqrt{2.522 \times 10^{13}} \approx 3.155 \times 10^{7}\ \text{초}$$ 즉 약 365.2일이 됩니다. 바로 1년에 해당하는 값이죠.
자주 묻는 질문
어떤 단위를 사용해야 하나요? SI 단위를 사용하세요. 질량은 킬로그램(kg), 긴반지름은 미터(m)로 입력합니다. 결과는 초 단위로 나오며 일·년 단위로도 함께 표시됩니다.
모든 궤도에 적용되나요? 공전하는 천체의 질량이 중심 천체에 비해 충분히 작다면 적용됩니다. 두 질량이 서로 비슷한 경우에는 \(M\) 대신 두 질량의 합 \(M_{1} + M_{2}\) 를 사용해야 합니다.
긴반지름은 궤도 반지름과 같은가요? 원 궤도라면 같습니다. 타원 궤도에서는 긴반지름이 가장 가까운 거리와 가장 먼 거리의 평균값입니다.
