ケプラーの第三法則とは？
ケプラーの第三法則は、天体の公転周期の2乗が、その軌道の軌道長半径の3乗に比例するという惑星運動の法則です。ニュートン力学の形で表すと、その比例定数は万有引力定数 G と、中心となる天体の質量 M によって決まります。この計算機はこの物理的な式を用いているため、人工衛星・衛星・惑星・恒星など、あらゆる天体の公転周期をわずか2つの値から求めることができます。
この計算機の使い方
まず、中心天体の質量をキログラム単位で入力します（例：太陽は約 \(1.989 \times 10^{30}\) kg、地球は約 \(5.972 \times 10^{24}\) kg）。次に、軌道の軌道長半径をメートル単位で入力します。ほぼ円に近い軌道であれば、これは単純に軌道半径と考えて構いません。計算機は公転周期を秒・日・年で返します。1.496e11 のような指数表記でも入力できます。
計算式の解説
完全な式は $$T^{2} = \frac{4\pi^{2}}{G \cdot M} \cdot a^{3}$$ で、これを変形すると $$T = 2\pi \cdot \sqrt{\frac{a^{3}}{G \cdot M}}$$ となります。ここで \(G = 6.674 \times 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^{2}/\text{kg}^{2}\) です。周期は距離の3乗の平方根に比例するため、軌道半径を2倍にすると周期は約2.83倍になります。
計算例
太陽を周回する地球の場合：\(M = 1.989 \times 10^{30}\) kg、\(a = 1.496 \times 10^{11}\) m です。\(a^{3} = 3.348 \times 10^{33}\)、\(G \cdot M = 1.328 \times 10^{20}\) を計算すると、$$T = 2\pi \cdot \sqrt{2.522 \times 10^{13}} \approx 3.155 \times 10^{7}\ \text{秒}$$ すなわち約365.2日となり、ちょうど1年に相当します。
よくある質問
どの単位を使えばよいですか？ SI単位を使用してください。質量はキログラム、軌道長半径はメートルで入力します。結果は秒で表示されます（日と年も併せて表示）。
どんな軌道にも使えますか？ はい。周回する天体の質量が中心天体に比べて十分小さい限り使えます。質量が同程度の2天体の場合は、\(M\) を合計質量 \(M_1 + M_2\) に置き換えます。
軌道長半径は軌道半径と同じですか？ 円軌道の場合は同じです。楕円軌道の場合、軌道長半径は最も近い距離と最も遠い距離の平均値になります。
