Qu'est-ce que la troisième loi de Kepler ?
La troisième loi de Kepler sur le mouvement des planètes énonce que le carré de la période orbitale d'un corps est proportionnel au cube du demi-grand axe de son orbite. Sous sa forme newtonienne, la constante de proportionnalité dépend de la constante gravitationnelle G et de la masse M du corps central autour duquel s'effectue l'orbite. Ce calculateur s'appuie sur cette forme physique : vous pouvez ainsi déterminer la période orbitale de n'importe quel satellite, lune, planète ou étoile à partir de seulement deux données.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez la masse du corps central en kilogrammes (par exemple, le Soleil pèse environ \(1{,}989 \times 10^{30}\) kg et la Terre environ \(5{,}972 \times 10^{24}\) kg). Indiquez ensuite le demi-grand axe de l'orbite en mètres : pour une orbite quasi circulaire, il correspond tout simplement au rayon orbital. Le calculateur affiche alors la période orbitale en secondes, en jours et en années. Vous pouvez aussi entrer des valeurs en notation scientifique, comme 1.496e11.
La formule expliquée
L'équation complète s'écrit $$T^{2} = \frac{4\pi^{2}}{G \cdot M} \cdot a^{3},$$ ce qui se réarrange en $$T = 2\pi \cdot \sqrt{\frac{a^{3}}{G \cdot M}}.$$ Ici, \(G = 6{,}674 \times 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^{2}/\text{kg}^{2}\). Comme la période varie comme la racine carrée du cube de la distance, doubler le rayon orbital multiplie la période par un facteur d'environ \(2{,}83\).
Exemple concret
Prenons la Terre en orbite autour du Soleil : \(M = 1{,}989 \times 10^{30}\) kg et \(a = 1{,}496 \times 10^{11}\) m. On calcule \(a^{3} = 3{,}348 \times 10^{33}\) et \(G \cdot M = 1{,}328 \times 10^{20}\), d'où $$T = 2\pi \cdot \sqrt{2{,}522 \times 10^{13}} \approx 3{,}155 \times 10^{7}\ \text{secondes},$$ soit environ \(365{,}2\) jours — c'est-à-dire exactement une année.
FAQ
Quelles unités dois-je utiliser ? Utilisez les unités du Système international (SI) : la masse en kilogrammes et le demi-grand axe en mètres. Le résultat est exprimé en secondes (et également affiché en jours et en années).
Cette loi s'applique-t-elle à n'importe quelle orbite ? Oui, tant que la masse du corps en orbite reste faible devant celle du corps central. Si les deux masses sont comparables, il faut remplacer \(M\) par la masse totale \(M_{1} + M_{2}\).
Le demi-grand axe est-il identique au rayon orbital ? Pour une orbite circulaire, oui. Pour une orbite elliptique, le demi-grand axe correspond à la moyenne entre la distance la plus proche et la distance la plus éloignée.
