केप्लर का तीसरा नियम क्या है?
ग्रहों की गति से जुड़ा केप्लर का तीसरा नियम बताता है कि किसी पिंड की कक्षीय अवधि का वर्ग उसकी कक्षा के अर्ध-दीर्घ अक्ष (semi-major axis) के घन के समानुपाती होता है। इसके न्यूटनी रूप में यह समानुपात स्थिरांक गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक G और जिस केंद्रीय पिंड की परिक्रमा की जा रही है उसके द्रव्यमान M पर निर्भर करता है। यह कैलकुलेटर इसी भौतिक रूप का उपयोग करता है, ताकि आप केवल दो मानों से किसी भी उपग्रह, चंद्रमा, ग्रह या तारे की कक्षीय अवधि निकाल सकें।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
केंद्रीय पिंड का द्रव्यमान किलोग्राम में दर्ज करें (उदाहरण के लिए, सूर्य का द्रव्यमान लगभग \(1.989 \times 10^{30}\ \text{kg}\) और पृथ्वी का लगभग \(5.972 \times 10^{24}\ \text{kg}\) है)। इसके बाद कक्षा का अर्ध-दीर्घ अक्ष मीटर में दर्ज करें — लगभग गोलाकार कक्षा के लिए यह बस कक्षीय त्रिज्या ही होती है। कैलकुलेटर कक्षीय अवधि को सेकंड, दिन और वर्षों में दिखाता है। आप मानों को वैज्ञानिक संकेतन में भी टाइप कर सकते हैं, जैसे 1.496e11।
सूत्र को समझें
पूरा समीकरण है $$T^{2} = \frac{4\pi^{2}}{G \cdot M}\cdot a^{3},$$ जिसे पुनर्व्यवस्थित करने पर $$T = 2\pi\sqrt{\frac{a^{3}}{G \cdot M}}$$ मिलता है। यहाँ \(G = 6.674 \times 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^{2}/\text{kg}^{2}\) है। चूँकि अवधि दूरी के घन के वर्गमूल के अनुपात में बढ़ती है, इसलिए कक्षीय त्रिज्या दोगुनी करने पर अवधि लगभग 2.83 गुना बढ़ जाती है।
हल किया गया उदाहरण
सूर्य की परिक्रमा करती पृथ्वी के लिए: \(M = 1.989 \times 10^{30}\ \text{kg}\) और \(a = 1.496 \times 10^{11}\ \text{m}\)। गणना करने पर \(a^{3} = 3.348 \times 10^{33}\) और \(G \cdot M = 1.328 \times 10^{20}\) आता है, जिससे $$T = 2\pi\sqrt{2.522 \times 10^{13}} \approx 3.155 \times 10^{7}\ \text{सेकंड},$$ यानी लगभग 365.2 दिन — ठीक एक वर्ष।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
मुझे कौन-सी इकाइयाँ इस्तेमाल करनी चाहिए? SI इकाइयों का उपयोग करें: द्रव्यमान किलोग्राम में और अर्ध-दीर्घ अक्ष मीटर में। परिणाम सेकंड में आता है (साथ ही दिन और वर्षों में भी दिखाया जाता है)।
क्या यह किसी भी कक्षा के लिए काम करता है? हाँ, बशर्ते परिक्रमा करने वाले पिंड का द्रव्यमान केंद्रीय पिंड की तुलना में बहुत कम हो। यदि दोनों द्रव्यमान लगभग बराबर हों, तो \(M\) की जगह संयुक्त द्रव्यमान \(M_{1} + M_{2}\) रखना होगा।
क्या अर्ध-दीर्घ अक्ष और कक्षीय त्रिज्या एक ही चीज़ हैं? गोलाकार कक्षा के लिए हाँ। दीर्घवृत्तीय (elliptical) कक्षा के लिए, अर्ध-दीर्घ अक्ष निकटतम और दूरतम दूरियों का औसत होता है।
