Что такое третий закон Кеплера?
Третий закон Кеплера о движении планет гласит: квадрат орбитального периода тела пропорционален кубу большой полуоси его орбиты. В ньютоновской форме коэффициент пропорциональности зависит от гравитационной постоянной G и массы M центрального тела, вокруг которого происходит обращение. Этот калькулятор использует именно физическую форму закона, поэтому вы можете вычислить орбитальный период любого спутника, луны, планеты или звезды всего по двум значениям.
Как пользоваться калькулятором
Укажите массу центрального тела в килограммах (например, масса Солнца составляет около \(1{,}989 \times 10^{30}\) кг, а Земли — около \(5{,}972 \times 10^{24}\) кг). Затем введите большую полуось орбиты в метрах: для почти круговой орбиты это попросту радиус орбиты. Калькулятор выдаст орбитальный период в секундах, сутках и годах. Значения можно вводить в экспоненциальной записи, например 1.496e11.
Разбор формулы
Полное уравнение имеет вид $$T^{2} = \frac{4\pi^{2}}{G \cdot M} \cdot a^{3},$$ откуда $$T = 2\pi \cdot \sqrt{\frac{a^{3}}{G \cdot M}}.$$ Здесь \(G = 6{,}674 \times 10^{-11}\ \text{Н}\cdot\text{м}^{2}/\text{кг}^{2}\). Поскольку период растёт пропорционально квадратному корню из куба расстояния, при удвоении радиуса орбиты период увеличивается примерно в \(2{,}83\) раза.
Пример расчёта
Рассмотрим обращение Земли вокруг Солнца: \(M = 1{,}989 \times 10^{30}\) кг, а \(a = 1{,}496 \times 10^{11}\) м. Тогда \(a^{3} = 3{,}348 \times 10^{33}\), а \(G \cdot M = 1{,}328 \times 10^{20}\), и мы получаем $$T = 2\pi \cdot \sqrt{2{,}522 \times 10^{13}} \approx 3{,}155 \times 10^{7}\ \text{секунд},$$ то есть около \(365{,}2\) суток — ровно один год.
Частые вопросы
Какие единицы измерения использовать? Применяйте систему СИ: массу в килограммах, большую полуось в метрах. Результат выдаётся в секундах (а также в сутках и годах).
Подходит ли расчёт для любой орбиты? Да, если масса обращающегося тела мала по сравнению с массой центрального. Для двух сопоставимых масс вместо \(M\) следует подставить суммарную массу \(M_{1} + M_{2}\).
Большая полуось — это то же самое, что радиус орбиты? Для круговой орбиты — да. Для эллиптической орбиты большая полуось равна среднему между минимальным и максимальным расстояниями.
