Qu'est-ce que le calculateur d'arccosinus (cosinus inverse) ?
L'arccosinus, noté \(\arccos(x)\) ou \(\cos^{-1}(x)\), répond à la question : « quel est l'angle dont le cosinus vaut x ? » Comme le cosinus ne renvoie que des valeurs comprises entre -1 et 1, la valeur saisie x doit obligatoirement appartenir à cet intervalle. Ce calculateur fournit l'angle principal θ à la fois en radians et en degrés, sachant que θ est compris dans l'intervalle [0, π] radians (soit de 0° à 180°).
Comment l'utiliser
Saisissez un nombre compris entre -1 et 1 dans le champ de saisie : le calculateur détermine alors \(\theta = \arccos(x)\). Le résultat s'affiche d'abord en degrés dans l'encadré mis en évidence, la valeur exacte en radians étant indiquée juste en dessous. Les valeurs situées en dehors de [-1, 1] sont ramenées à la borne valide la plus proche, car le cosinus ne peut jamais dépasser ces limites.
La formule expliquée
La relation s'écrit \(\theta = \arccos(x)\) ; il s'agit de la fonction réciproque de \(x = \cos(\theta)\). Pour convertir le résultat de radians en degrés, multipliez-le par \(180/\pi\). Par exemple, \(\arccos(0) = \pi/2\) radians = 90°, puisque \(\cos(90°) = 0\).
$$\theta = \arccos\left(\text{x}\right) \quad\Rightarrow\quad \theta_{\deg} = \arccos\left(\text{x}\right) \times \frac{180}{\pi}$$
Exemple concret
Prenons x = 0,5. On obtient alors \(\theta = \arccos(0{,}5) = 1{,}047198\) radians. Conversion : $$1{,}047198 \times \frac{180}{\pi} \approx 60°.$$ Ce résultat est exact, car \(\cos(60°) = 0{,}5\).
Valeurs courantes d'arccos
La fonction arccosinus \(\theta = \arccos(x)\) accepte des entrées uniquement dans la plage \(-1 \le x \le 1\) et retourne un angle principal dans \([0, \pi]\) radians, de manière équivalente \([0^\circ, 180^\circ]\). Le tableau ci-dessous répertorie les valeurs de référence standard utilisées dans toute la trigonométrie, avec l'angle présenté à la fois comme une fraction exacte de \(\pi\) et en degrés.
| x | x décimal | arccos(x) (radians) | arccos(x) (degrés) |
|---|---|---|---|
| 1 | 1.000 | \(0\) | 0° |
| \(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\) | 0.866 | \(\tfrac{\pi}{6}\) | 30° |
| \(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\) | 0.707 | \(\tfrac{\pi}{4}\) | 45° |
| \(\tfrac{1}{2}\) | 0.500 | \(\tfrac{\pi}{3}\) | 60° |
| 0 | 0.000 | \(\tfrac{\pi}{2}\) | 90° |
| \(-\tfrac{1}{2}\) | -0.500 | \(\tfrac{2\pi}{3}\) | 120° |
| \(-\tfrac{\sqrt{2}}{2}\) | -0.707 | \(\tfrac{3\pi}{4}\) | 135° |
| \(-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\) | -0.866 | \(\tfrac{5\pi}{6}\) | 150° |
| -1 | -1.000 | \(\pi\) | 180° |
Remarquez la symétrie : \(\arccos(-x) = \pi - \arccos(x)\). Par exemple, \(\arccos(-\tfrac{1}{2}) = \pi - \tfrac{\pi}{3} = \tfrac{2\pi}{3}\), confirmant l'appariement 60° et 120° dans le tableau.
FAQ
Pourquoi x doit-il être compris entre -1 et 1 ? La fonction cosinus ne produit jamais de valeurs hors de cet intervalle ; sa fonction réciproque n'est donc définie que sur celui-ci.
Dans quel intervalle se situe le résultat ? La valeur principale de l'arccosinus est toujours comprise entre 0 et π radians (de 0° à 180°).
Que valent arccos(1) et arccos(-1) ? \(\arccos(1) = 0°\) (cos 0° = 1) et \(\arccos(-1) = 180°\) (cos 180° = -1).
