사각뿔의 겉넓이란?
사각뿔은 정사각형 밑면 위에 똑같이 생긴 네 개의 삼각형 면이 한 꼭짓점에서 만나는 입체도형입니다. 전체 겉넓이는 정사각형 밑면의 넓이와 네 삼각형 면의 넓이(옆면 넓이)를 모두 더한 값이죠. 이 계산기는 꼭짓점이 밑면 중심 바로 위에 있는 정사각뿔(직사각뿔)이라면 어떤 크기든 정확하게 계산해 줍니다.
계산기 사용 방법
밑변 길이(a), 즉 정사각형 밑면 한 변의 길이를 입력하고, 밑면 중심에서 꼭짓점까지 수직으로 잰 높이(h)를 입력하세요. 단위는 cm, m, in, ft 등 무엇이든 상관없지만 두 값을 같은 단위로 맞춰야 합니다. 결과는 입력한 단위의 제곱으로 나타납니다. 계산기는 전체 겉넓이와 함께 밑면 넓이, 옆면 넓이, 모선 길이까지 보여 줍니다.
공식 한눈에 보기
먼저 피타고라스 정리를 이용해 모선 길이를 구합니다. 밑변의 절반과 수직 높이를 결합하면 되죠.
$$l = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^{2} + h^{2}}$$
밑면이 차지하는 넓이는 \(a^{2}\)이고, 네 삼각형 각각의 넓이는 \(\frac{1}{2}\cdot a\cdot l\)이므로 네 개를 모두 더하면 \(2\cdot a\cdot l\)이 됩니다. 둘을 합치면 다음과 같습니다.
$$A = a^{2} + 2a\cdot\sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^{2} + h^{2}}$$
예제로 풀어보기
\(a = 6\), \(h = 4\)라고 해 봅시다. \(a/2 = 3\)이므로 모선 길이는 \(\sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5\)가 됩니다. 밑면 넓이는 \(6^{2} = 36\)이고, 옆면 넓이는 \(2 \times 6 \times 5 = 60\)입니다. 따라서 전체 겉넓이는 \(36 + 60 =\) 96 제곱 단위가 됩니다.
자주 묻는 질문
높이와 모선 길이는 같은 건가요? 아닙니다. 높이(h)는 밑면 중심에서 꼭짓점까지의 수직 거리이고, 모선 길이(l)는 삼각형 면을 따라 꼭짓점에서 밑변 한 변의 중점까지 이어지는 길이입니다. 모선 길이는 항상 높이보다 깁니다.
모선 길이만 알고 있다면 어떻게 하나요? 높이(h) 대신 모선 길이(l)를 알고 있다면 옆면 넓이는 그냥 \(2\cdot a\cdot l\)이므로, 전체 넓이는 \(a^{2} + 2\cdot a\cdot l\)이 됩니다. 피타고라스 정리를 따로 계산할 필요가 없죠.
정사각뿔이 아닌 경우에도 쓸 수 있나요? 아니요. 이 계산기는 정사각형 밑면과 똑같은 네 삼각형 면을 전제로 합니다. 직사각형 밑면이나 비스듬한 뿔(사각뿔)은 다른 공식이 필요합니다.
