좌표점으로 다각형 넓이와 둘레 구하는 계산기

계산 입력

좌표점 (한 줄에 "x, y" 한 쌍씩) 0, 0 4, 0 4, 3 0, 3 Enter each vertex on its own line as x, y. The polygon is closed automatically — do not repeat the first point.

유효 자릿수 6 10 14 18 22 26 30 34 38 42 46 50

결과

,

넓이 S

12

제곱 단위 (좌표 단위의 제곱)

둘레 L	14 units
계산된 꼭짓점 수	4
계산 방식	신발끈(가우스) 넓이 + 유클리드 둘레

이 계산기로 할 수 있는 것

이 도구는 2차원 평면에서 순서대로 입력한 (x, y) 좌표점들로 정의되는 임의의 단순 다각형의 넓이와 둘레를 계산합니다. 넓이는 고전적인 신발끈 공식(가우스 공식)으로, 둘레는 각 변의 유클리드 길이를 합산해 구합니다. 좌표는 일관된 하나의 길이 단위(미터, 피트, 픽셀 등)를 가진 숫자로 처리되며, 넓이는 그 단위의 제곱, 둘레는 그 단위 그대로 표시됩니다. 별도의 단위 변환은 하지 않습니다.

좌표 평면 위의 순서가 있는 (x, y) 꼭짓점 목록으로 정의된 단순 다각형.

사용 방법

다각형을 한 바퀴 도는 순서(시계 방향이든 반시계 방향이든 상관없음)대로 각 꼭짓점을 x, y 형식으로 한 줄에 하나씩 입력하세요. 마지막에 첫 점을 다시 적을 필요는 없습니다 — 마지막 꼭짓점에서 첫 꼭짓점으로 이어지는 닫는 변은 자동으로 추가됩니다. 표시 자릿수를 선택한 뒤 넓이와 둘레를 확인하면 됩니다.

공식 설명

신발끈 공식은 다각형을 한 바퀴 돌면서 교차항 \((x_j - x_{j+1})(y_j + y_{j+1})\)을 모두 더한 뒤, 그 합을 2로 나누고 절댓값을 취합니다.

$$A = \frac{1}{2}\left| \sum_{j=1}^{n} (x_j - x_{j+1})(y_j + y_{j+1}) \right| \qquad P = \sum_{j=1}^{n} \sqrt{(x_j - x_{j+1})^2 + (y_j - y_{j+1})^2}$$$$\text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} (x_j, y_j) &= \text{Coordinate Points} \\ (x_{n+1}, y_{n+1}) &= (x_1, y_1) \end{aligned} \right.$$

기하학적으로 보면 각 변 아래의 부호 있는 사다리꼴 넓이를 누적하는 것으로, 마주 보는 변들은 서로 상쇄되고 다각형이 둘러싼 영역만 남습니다. 둘레는 닫는 변을 포함한 모든 변의 직선 거리를 단순히 합산합니다.

신발끈 공식은 연속된 좌표 쌍의 교차 곱셈에서 그 이름이 유래했습니다.

예제로 보기

꼭짓점이 (0,0), (4,0), (4,3), (0,3)인 4×3 직사각형의 경우, 신발끈 합은 \(0 + 0 + 24 + 0 = 24\)이므로 \(S = 24/2 = \mathbf{12}\) 제곱 단위입니다. 변의 길이는 \(4 + 3 + 4 + 3\)으로 둘레는 14 단위가 됩니다. 삼각형 (0,0), (4,0), (0,3)은 \(S = 6\)이 나오며, 이는 \(\tfrac{1}{2} \times \text{밑변} \times \text{높이}\)와 정확히 일치합니다.

자주 묻는 질문

꼭짓점 순서가 중요한가요? 절댓값을 취하기 때문에 방향(시계 방향 vs 반시계 방향)은 결과에 영향을 주지 않습니다. 다만 점들은 반드시 경계를 따라가는 순서여야 하며, 뒤죽박죽 섞여 있으면 안 됩니다.

자기 교차하는 도형에도 쓸 수 있나요? 신발끈 공식은 변이 서로 교차하지 않는 단순 다각형에서만 정확합니다. 변이 교차하면 눈에 보이는 둘러싼 넓이가 아니라 대수적으로 부호가 더해진 넓이가 나옵니다.

점이 두 개뿐이면요? 두 점의 넓이는 0입니다. 닫는 변도 함께 계산되기 때문에 둘레는 선분 길이의 두 배가 됩니다. 제대로 된 다각형을 만들려면 점을 세 개 이상 입력하세요.