座標点で囲まれる多角形の面積・周囲の長さ計算

計算を入力してください

座標点（1行に1組の「x, y」） 0, 0 4, 0 4, 3 0, 3 Enter each vertex on its own line as x, y. The polygon is closed automatically — do not repeat the first point.

有効桁数 6 10 14 18 22 26 30 34 38 42 46 50

結果

,

面積 S

12

平方単位（座標単位の2乗）

周囲の長さ L	14 units
数えた頂点数	4
計算方法	靴ひもの公式（ガウスの公式）による面積＋ユークリッド距離による周囲の長さ

この計算ツールでできること

このツールは、2次元平面上で順番に並べた(x, y)座標点によって定義される任意の単純多角形について、囲まれた面積と周囲の長さを計算します。面積には古典的な「靴ひもの公式」（ガウスの公式）を、周囲の長さには各辺のユークリッド距離の合計を用います。座標は、同一の長さの単位（メートル、フィート、ピクセルなど）で表された単なる数値として扱われます。面積はその単位の2乗、周囲の長さはその単位で出力され、単位の変換は行いません。

座標平面上の (x, y) 頂点の順序付きリストで定義された単純多角形。

使い方

各頂点を1行ずつx, yの形式で入力します。多角形の輪郭をたどる順序（時計回り・反時計回りのどちらでも可）で並べてください。最後に最初の点を繰り返して入力する必要はありません。最終頂点から最初の頂点へ戻る閉じる辺は、自動的に追加されます。表示する桁数を選べば、面積と周囲の長さがすぐに確認できます。

公式の解説

靴ひもの公式では、ループに沿って交差項(x_j − x_{j+1})(y_j + y_{j+1})を合計し、その総和を2で割って絶対値をとります。これは幾何学的には、各辺の下にできる符号付き台形の面積を積み上げる操作にあたり、向かい合う辺どうしが打ち消し合うことで、囲まれた領域だけが残ります。周囲の長さは、閉じる辺を含めたすべての辺の直線距離を単純に合計したものです。

$$A = \frac{1}{2}\left| \sum_{j=1}^{n} (x_j - x_{j+1})(y_j + y_{j+1}) \right| \qquad P = \sum_{j=1}^{n} \sqrt{(x_j - x_{j+1})^2 + (y_j - y_{j+1})^2}$$ $$\text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} (x_j, y_j) &= \text{Coordinate Points} \\ (x_{n+1}, y_{n+1}) &= (x_1, y_1) \end{aligned} \right.$$

靴ひも公式は、連続する座標ペアのたすき掛け乗算に由来して名付けられました。

計算例

頂点が (0,0)、(4,0)、(4,3)、(0,3) の 4×3 の長方形の場合、靴ひもの和は \(0 + 0 + 24 + 0 = 24\) となり、\(S = 24/2 = \textbf{12}\) 平方単位となります。各辺の長さは \(4 + 3 + 4 + 3\) で、周囲の長さは 14 単位です。三角形 (0,0)、(4,0)、(0,3) では \(S = 6\) となり、\(\tfrac{1}{2} \times \text{底辺} \times \text{高さ}\) と一致します。

よくある質問

頂点を入力する順序は結果に影響しますか？ 絶対値をとるため、向き（時計回りか反時計回りか）によって結果は変わりません。ただし、点は輪郭に沿った順番で並べる必要があり、バラバラに入力することはできません。

自己交差する図形でも使えますか？ 靴ひもの公式が正確な値を返すのは、自己交差のない単純多角形に限られます。辺が交差する場合は、見た目に囲まれた面積ではなく、符号付き領域の代数的な面積が得られます。

点が2つだけの場合は？ 点が2つだと面積は0になります。閉じる辺も数えられるため、周囲の長さは線分の長さの2倍になります。実際の多角形を計算するには、3つ以上の点を入力してください。