Bu hesaplayıcı ne işe yarar?
Bu araç, iki boyutlu düzlemde sıralı (x, y) koordinat noktalarıyla tanımlanan herhangi bir basit çokgenin kapalı alanını ve çevresini hesaplar. Alan için klasik ayakkabı bağı (Gauss) formülünü, çevre için ise kenar uzunluklarının (Öklid mesafelerinin) toplamını kullanır. Koordinatlar, tutarlı tek bir uzunluk biriminde (metre, fit, piksel vb.) yalın sayılar olarak değerlendirilir; alan bu birimin karesi, çevre ise aynı birim cinsinden döner. Hiçbir birim dönüşümü uygulanmaz.
Nasıl kullanılır?
Her köşeyi ayrı bir satıra, çokgenin etrafında dolaşma sıranıza göre x, y biçiminde girin (saat yönü de saat yönünün tersi de çalışır). İlk noktayı sonda yeniden yazmanıza gerek yoktur — son köşeden ilk köşeye dönen kapanış kenarı otomatik olarak eklenir. Bir gösterim hassasiyeti seçin ve alan ile çevre değerlerini doğrudan okuyun.
Formül nasıl işliyor?
Ayakkabı bağı formülü, çokgen boyunca \((x_j - x_{j+1})(y_j + y_{j+1})\) çapraz terimlerini toplar, sonucu ikiye böler ve mutlak değerini alır:
$$A = \frac{1}{2}\left| \sum_{j=1}^{n} (x_j - x_{j+1})(y_j + y_{j+1}) \right| \qquad P = \sum_{j=1}^{n} \sqrt{(x_j - x_{j+1})^2 + (y_j - y_{j+1})^2}$$Geometrik olarak bu işlem, her kenarın altındaki işaretli yamuk alanlarını biriktirir; karşılıklı kenarlar birbirini götürür ve geriye yalnızca kapalı bölge kalır. Çevre ise tüm kenarların doğrusal uzunluklarını, kapanış kenarı dahil olmak üzere toplar.
Örnek çözüm
Köşeleri (0,0), (4,0), (4,3), (0,3) olan 4×3'lük bir dikdörtgen için ayakkabı bağı toplamı \(0 + 0 + 24 + 0 = 24\) olur; dolayısıyla \(S = 24/2 = \mathbf{12}\) birim karedir. Kenar uzunlukları \(4 + 3 + 4 + 3\) olduğundan çevre 14 birimdir. (0,0), (4,0), (0,3) köşeli bir üçgen ise \(S = 6\) verir; bu da \(\frac{1}{2} \times \text{taban} \times \text{yükseklik}\) formülüyle uyumludur.
Sıkça sorulan sorular
Köşelerin sırası önemli mi? Mutlak değer alındığı için yön (saat yönü veya tersi) sonucu değiştirmez; ancak noktalar sınır boyunca sıralı olmalıdır — karışık değil.
Kendisiyle kesişen şekillerde çalışır mı? Ayakkabı bağı formülü yalnızca basit (kendisiyle kesişmeyen) çokgenler için tam sonuç verir. Kenarlar kesişirse görünen kapalı alanı değil, cebirsel işaretli bölge alanını elde edersiniz.
Yalnızca iki nokta girersem ne olur? İki nokta alanı 0 verir; kapanış kenarı da sayıldığından çevre, parçanın uzunluğunun iki katına eşit olur. Gerçek bir çokgen için üç veya daha fazla nokta kullanın.
