Что считает этот калькулятор
Инструмент вычисляет площадь и периметр произвольного простого многоугольника, заданного упорядоченным списком точек (x, y) на плоскости. Для площади используется классическая формула шнурков (формула Гаусса), а для периметра — сумма евклидовых длин сторон. Координаты воспринимаются как обычные числа в любой одной согласованной единице длины (метры, футы, пиксели и т. д.): площадь возвращается в квадрате этой единицы, а периметр — в самой единице. Никакой пересчёт единиц не выполняется.
Как пользоваться
Введите каждую вершину на отдельной строке в виде x, y в том порядке, в котором вы обходите многоугольник по контуру (по часовой стрелке или против — годятся оба варианта). Повторять первую точку в конце не нужно — замыкающая сторона от последней вершины к первой добавляется автоматически. Выберите число значащих цифр и считайте готовые значения площади и периметра.
Разбор формулы
Формула шнурков складывает перекрёстные произведения \((x_j - x_{j+1})(y_j + y_{j+1})\) по всему контуру, делит сумму пополам и берёт модуль. Геометрически это накопление знаковых площадей трапеций под каждой стороной: вклады противоположных сторон взаимно сокращаются, и остаётся только площадь внутренней области. Периметр же — это просто сумма прямолинейных расстояний между всеми соседними вершинами, включая замыкающую сторону.
$$ A = \frac{1}{2}\left| \sum_{j=1}^{n} (x_j - x_{j+1})(y_j + y_{j+1}) \right| \qquad P = \sum_{j=1}^{n} \sqrt{(x_j - x_{j+1})^2 + (y_j - y_{j+1})^2} $$ $$ \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} (x_j, y_j) &= \text{Coordinate Points} \\ (x_{n+1}, y_{n+1}) &= (x_1, y_1) \end{aligned} \right. $$
Пример расчёта
Возьмём прямоугольник 4×3 с вершинами (0,0), (4,0), (4,3), (0,3): сумма шнурков равна \(0 + 0 + 24 + 0 = 24\), значит \(S = 24/2 = \mathbf{12}\) квадратных единиц. Длины сторон дают \(4 + 3 + 4 + 3\), то есть периметр 14 единиц. Для треугольника (0,0), (4,0), (0,3) получаем \(S = 6\), что совпадает с формулой \(\tfrac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота}\).
Частые вопросы
Важен ли порядок вершин? Направление обхода (по часовой стрелке или против) на результат не влияет, поскольку берётся модуль. Но точки должны идти строго в порядке обхода контура — нельзя задавать их вперемешку.
Работает ли это для самопересекающихся фигур? Формула шнурков точна только для простых (без самопересечений) многоугольников. Если стороны пересекаются, вы получите алгебраическую знаковую площадь, а не видимую площадь внутренней области.
А если задать всего две точки? Две точки дают площадь 0; так как замыкающая сторона тоже учитывается, периметр получится равным удвоенной длине отрезка. Для настоящего многоугольника используйте три точки и более.
