ما الذي تقوم به هذه الحاسبة
تحسب هذه الأداة المساحة المحصورة والمحيط لأي مضلع بسيط معرّف بقائمة مرتبة من نقاط الإحداثيات (س، ص) في المستوى ثنائي الأبعاد. وهي تعتمد صيغة شوّيليس الكلاسيكية (صيغة غاوس) لحساب المساحة، ومجموع أطوال الأضلاع الإقليدية لحساب المحيط. تُعامَل الإحداثيات كأرقام مجردة بأي وحدة طول واحدة متّسقة (أمتار، أقدام، بكسلات، وغيرها)؛ وتُعاد المساحة بمربّع تلك الوحدة، ويُعاد المحيط بنفس الوحدة. ولا يُجرى أي تحويل بين الوحدات.
طريقة الاستخدام
أدخِل كل رأس في سطر مستقل على هيئة س، ص بالترتيب الذي تسير به حول المضلع (في اتجاه عقارب الساعة أو عكسها، كلاهما صحيح). لا حاجة لتكرار النقطة الأولى في النهاية، إذ يُضاف الضلع الذي يغلق الشكل من الرأس الأخير إلى الأول تلقائيًا. اختر دقة العرض ثم اقرأ قيمة المساحة والمحيط.
شرح الصيغة
تجمع صيغة شوّيليس الحدود المتقاطعة \((x_j - x_{j+1})(y_j + y_{j+1})\) دورانًا حول الحلقة، ثم تُقسَم النتيجة على اثنين، ويؤخذ مقدارها المطلق. هندسيًا، تراكم هذه العملية مساحات شبه منحرفة موجبة وسالبة أسفل كل ضلع؛ فتتلاشى مساحات الأضلاع المتقابلة باستثناء المنطقة المحصورة داخل الشكل. أما المحيط فيكتفي بجمع المسافة المستقيمة لكل ضلع، بما في ذلك الضلع الذي يغلق المضلع.
$$A = \frac{1}{2}\left| \sum_{j=1}^{n} (x_j - x_{j+1})(y_j + y_{j+1}) \right| \qquad P = \sum_{j=1}^{n} \sqrt{(x_j - x_{j+1})^2 + (y_j - y_{j+1})^2}$$ $$\text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} (x_j, y_j) &= \text{Coordinate Points} \\ (x_{n+1}, y_{n+1}) &= (x_1, y_1) \end{aligned} \right.$$
مثال محلول
لمستطيل أبعاده 4×3 برؤوسه (0,0) و(4,0) و(4,3) و(0,3): يكون مجموع شوّيليس \(0 + 0 + 24 + 0 = 24\)، ومن ثَمّ المساحة \(S = 24/2 =\) 12 وحدة مربّعة. وأطوال الأضلاع هي \(4 + 3 + 4 + 3\)، فيكون المحيط 14 وحدة. أما المثلث ذو الرؤوس (0,0) و(4,0) و(0,3) فيعطي \(S = 6\)، وهو ما يطابق \(\tfrac{1}{2} \times \text{القاعدة} \times \text{الارتفاع}\).
الأسئلة الشائعة
هل يهمّ ترتيب الرؤوس؟ لا يغيّر الاتجاه (عقارب الساعة أو عكسها) النتيجة لأننا نأخذ القيمة المطلقة، لكن يجب أن تكون النقاط مرتّبة تتابعيًا على طول حدود الشكل، لا متناثرة عشوائيًا.
هل تعمل مع الأشكال المتقاطعة ذاتيًا؟ صيغة شوّيليس دقيقة فقط مع المضلعات البسيطة (غير المتقاطعة ذاتيًا). فإذا تقاطعت الأضلاع، ستحصل على المساحة الجبرية ذات الإشارة، لا على المساحة المحصورة الظاهرة للعين.
وماذا عن نقطتين فقط؟ تعطي النقطتان مساحة تساوي صفرًا؛ ولأن الضلع المُغلِق يُحسَب أيضًا، فإن المحيط يساوي ضعف طول القطعة المستقيمة. استخدم ثلاث نقاط أو أكثر للحصول على مضلع حقيقي.
