Qué hace esta calculadora
Esta herramienta calcula el área encerrada y el perímetro de cualquier polígono simple definido por una lista ordenada de puntos (x, y) en un plano 2D. Emplea la clásica fórmula del área de Gauss (también llamada fórmula del cordón de zapato o «shoelace») para el área y la suma de las longitudes euclidianas de los lados para el perímetro. Las coordenadas se tratan como simples números expresados en una misma unidad de longitud (metros, pies, píxeles, etc.); el área se devuelve en esa unidad al cuadrado y el perímetro en esa misma unidad. No se aplica ninguna conversión de unidades.
Cómo utilizarla
Escribe cada vértice en su propia línea con el formato x, y, siguiendo el orden en que recorres el contorno del polígono (sirve tanto en sentido horario como antihorario). No hace falta repetir el primer punto al final: el lado de cierre, que une el último vértice con el primero, se añade automáticamente. Elige la precisión que quieres mostrar y consulta el área y el perímetro.
La fórmula explicada
La fórmula de Gauss suma los productos cruzados \((x_j - x_{j+1})(y_j + y_{j+1})\) a lo largo de todo el recorrido, divide el total entre dos y toma el valor absoluto. Geométricamente, esto va acumulando áreas de trapecios con signo bajo cada lado; los lados opuestos se cancelan y solo queda la región encerrada. El perímetro, por su parte, simplemente suma la distancia en línea recta de cada lado, incluido el de cierre.
$$A = \frac{1}{2}\left| \sum_{j=1}^{n} (x_j - x_{j+1})(y_j + y_{j+1}) \right| \qquad P = \sum_{j=1}^{n} \sqrt{(x_j - x_{j+1})^2 + (y_j - y_{j+1})^2}$$ $$\text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} (x_j, y_j) &= \text{Coordinate Points} \\ (x_{n+1}, y_{n+1}) &= (x_1, y_1) \end{aligned} \right.$$
Ejemplo resuelto
Para un rectángulo de \(4\times3\) con vértices (0,0), (4,0), (4,3), (0,3): la suma de Gauss es $$0 + 0 + 24 + 0 = 24,$$ de modo que \(S = 24/2 = 12\) unidades cuadradas. Las longitudes de los lados son \(4 + 3 + 4 + 3\), lo que da un perímetro de 14 unidades. Un triángulo (0,0), (4,0), (0,3) da \(S = 6\), que coincide con \(\frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{altura}\).
Preguntas frecuentes
¿Importa el orden de los vértices? El sentido (horario o antihorario) no altera el resultado porque se toma el valor absoluto, pero los puntos sí deben ir en orden consecutivo a lo largo del contorno; no pueden estar desordenados.
¿Funciona con figuras que se cruzan a sí mismas? La fórmula de Gauss es exacta solo para polígonos simples (que no se autointersecan). Si los lados se cruzan, obtendrás el área algebraica con signo de las regiones, no el área visible realmente encerrada.
¿Y si solo introduzco dos puntos? Con dos puntos el área es 0; como el lado de cierre también se cuenta, el perímetro equivale al doble de la longitud del segmento. Para un polígono real, usa tres puntos o más.
