Ce que fait ce calculateur
Cet outil calcule l'aire délimitée et le périmètre d'un polygone simple quelconque, défini par une liste ordonnée de points de coordonnées (x, y) dans un plan en 2D. Il s'appuie sur la célèbre formule du lacet (ou formule de Gauss) pour l'aire et sur la somme des longueurs euclidiennes des côtés pour le périmètre. Les coordonnées sont traitées comme de simples nombres exprimés dans une même unité de longueur cohérente (mètres, pieds, pixels, etc.) ; l'aire est renvoyée dans cette unité au carré et le périmètre dans cette même unité. Aucune conversion d'unité n'est effectuée.
Comment l'utiliser
Saisissez chaque sommet sur sa propre ligne sous la forme x, y, dans l'ordre où vous parcourez le contour du polygone (le sens horaire comme le sens antihoraire conviennent). Inutile de répéter le premier point à la fin : le côté de fermeture, qui relie le dernier sommet au premier, est ajouté automatiquement. Choisissez une précision d'affichage, puis lisez directement l'aire et le périmètre.
La formule expliquée
La formule du lacet additionne les termes croisés \((x_j - x_{j+1})(y_j + y_{j+1})\) tout au long du contour, divise le total par deux et en prend la valeur absolue. Géométriquement, elle cumule les aires signées des trapèzes situés sous chaque côté ; les côtés opposés s'annulent, à l'exception de la région délimitée. Le périmètre, lui, additionne simplement la distance en ligne droite de chaque côté, y compris le côté de fermeture.
$$A = \frac{1}{2}\left| \sum_{j=1}^{n} (x_j - x_{j+1})(y_j + y_{j+1}) \right| \qquad P = \sum_{j=1}^{n} \sqrt{(x_j - x_{j+1})^2 + (y_j - y_{j+1})^2}$$ $$\text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} (x_j, y_j) &= \text{Coordinate Points} \\ (x_{n+1}, y_{n+1}) &= (x_1, y_1) \end{aligned} \right.$$
Exemple concret
Pour un rectangle de \(4 \times 3\) dont les sommets sont (0,0), (4,0), (4,3), (0,3) : la somme du lacet vaut \(0 + 0 + 24 + 0 = 24\), d'où \(S = 24/2 = 12\) unités carrées. Les longueurs des côtés sont \(4 + 3 + 4 + 3\), soit un périmètre de 14 unités. Un triangle (0,0), (4,0), (0,3) donne \(S = 6\), ce qui correspond bien à \(\frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{hauteur}\).
FAQ
L'ordre des sommets a-t-il une importance ? Le sens (horaire ou antihoraire) ne change pas le résultat, car on prend la valeur absolue. En revanche, les points doivent impérativement se suivre dans l'ordre du contour : ils ne peuvent pas être mélangés.
Fonctionne-t-il avec des formes qui se croisent ? La formule du lacet n'est exacte que pour les polygones simples (sans auto-intersection). Si des côtés se croisent, vous obtenez l'aire algébrique signée de la région, et non l'aire délimitée visible à l'œil.
Et avec seulement deux points ? Deux points donnent une aire de 0 ; comme le côté de fermeture est lui aussi compté, le périmètre équivaut au double de la longueur du segment. Utilisez trois points ou plus pour un véritable polygone.
