यह कैलकुलेटर क्या करता है

यह टूल 2D तल में दिए गए क्रमबद्ध (x, y) निर्देशांक बिंदुओं से बने किसी भी सरल बहुभुज का क्षेत्रफल और परिमाप निकालता है। क्षेत्रफल के लिए यह प्रसिद्ध शूलेस (गॉस) सूत्र और परिमाप के लिए हर भुजा की यूक्लिडियन लंबाई का योग इस्तेमाल करता है। निर्देशांकों को किसी एक ही माप इकाई (मीटर, फुट, पिक्सेल आदि) में साधारण संख्याएँ माना जाता है; क्षेत्रफल उसी इकाई के वर्ग में और परिमाप उसी इकाई में मिलता है। कोई इकाई रूपांतरण नहीं किया जाता।

x-y निर्देशांक ग्रिड पर अंकित लेबल किए गए शीर्षों वाला अनियमित बहुभुज — निर्देशांक तल पर (x, y) शीर्षों की क्रमित सूची से परिभाषित एक सरल बहुभुज।

इसका इस्तेमाल कैसे करें

हर शीर्ष (vertex) को अलग पंक्ति में x, y के रूप में उसी क्रम में लिखें जिस क्रम में आप बहुभुज की सीमा पर चलेंगे (दक्षिणावर्त या वामावर्त, दोनों चलते हैं)। आपको पहले बिंदु को आखिर में दोबारा लिखने की ज़रूरत नहीं है — आखिरी शीर्ष से पहले शीर्ष तक की बंद करने वाली भुजा अपने आप जुड़ जाती है। मनचाही सटीकता (precision) चुनें और क्षेत्रफल व परिमाप पढ़ लें।

सूत्र की समझ

शूलेस सूत्र पूरे लूप के चारों ओर क्रॉस-पदों $(x_j - x_{j+1})(y_j + y_{j+1})$ का योग करता है, कुल को आधा करता है, और उसका निरपेक्ष मान (absolute value) ले लेता है। ज्यामितीय रूप से यह हर भुजा के नीचे बने चिह्नित समलंब (trapezoid) क्षेत्रफलों को जोड़ता है; विपरीत भुजाएँ आपस में कट जाती हैं और सिर्फ़ घिरा हुआ क्षेत्र बचता है। परिमाप के लिए हर भुजा की सीधी दूरी जोड़ दी जाती है, जिसमें बंद करने वाली भुजा भी शामिल है।

$$A = \frac{1}{2}\left| \sum_{j=1}^{n} (x_j - x_{j+1})(y_j + y_{j+1}) \right| \qquad P = \sum_{j=1}^{n} \sqrt{(x_j - x_{j+1})^2 + (y_j - y_{j+1})^2}$$

$$\text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} (x_j, y_j) &= \text{Coordinate Points} \\ (x_{n+1}, y_{n+1}) &= (x_1, y_1) \end{aligned} \right.$$

शीर्ष निर्देशांकों के बीच क्रॉस होती विकर्ण रेखाएँ जो शूलेस क्रॉस-गुणन पैटर्न दर्शाती हैं — शूलेस सूत्र का नाम लगातार निर्देशांक जोड़ों के क्रॉस-गुणन से पड़ा है।

हल किया हुआ उदाहरण

शीर्ष (0,0), (4,0), (4,3), (0,3) वाले 4×3 आयत के लिए: शूलेस योग $0 + 0 + 24 + 0 = 24$ होता है, इसलिए $S = 24/2 = \mathbf{12}$ वर्ग इकाई। भुजाओं की लंबाई $4 + 3 + 4 + 3$ जोड़ने पर परिमाप 14 इकाई आता है। वहीं त्रिभुज (0,0), (4,0), (0,3) के लिए $S = 6$ मिलता है, जो $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई}$ के बराबर है।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

क्या शीर्षों का क्रम मायने रखता है? दिशा (दक्षिणावर्त या वामावर्त) से नतीजा नहीं बदलता, क्योंकि निरपेक्ष मान लिया जाता है — पर बिंदु सीमा के क्रम में होने चाहिए, बेतरतीब नहीं।

क्या यह आपस में काटने वाली आकृतियों पर चलता है? शूलेस सूत्र सिर्फ़ सरल (आपस में न काटने वाले) बहुभुजों के लिए ही सटीक है। अगर भुजाएँ एक-दूसरे को काटती हैं, तो आपको दिखने वाला घिरा हुआ क्षेत्रफल नहीं, बल्कि बीजगणितीय चिह्नित-क्षेत्र मिलेगा।

सिर्फ़ दो बिंदु डालें तो? दो बिंदुओं से क्षेत्रफल 0 आता है; और चूँकि बंद करने वाली भुजा भी गिनी जाती है, इसलिए परिमाप उस रेखाखंड की लंबाई का दोगुना हो जाता है। सही बहुभुज के लिए तीन या उससे ज़्यादा बिंदु इस्तेमाल करें।

परिमाप L	14 units
गिने गए शीर्ष	4
विधि	शूलेस (गॉस) क्षेत्रफल + यूक्लिडियन परिमाप

निर्देशांक बिंदुओं से बहुभुज का क्षेत्रफल और परिमाप निकालने वाला कैलकुलेटर

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सूत्र (फॉर्मूला)

परिणाम

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