Что такое площадь поверхности прямоугольной пирамиды?
У прямоугольной пирамиды в основании лежит прямоугольник, а четыре боковые грани — треугольники, которые сходятся в одной вершине ровно над центром основания. Полная площадь поверхности — это сумма площади прямоугольного основания и четырёх треугольников. Калькулятор мгновенно вычисляет её по длине основания (\(l\)), ширине основания (\(w\)) и вертикальной высоте (\(h\)). Результат выражается в квадратных единицах: если размеры заданы в сантиметрах, площадь получится в квадратных сантиметрах, и так далее.
Как пользоваться калькулятором
Введите длину основания, ширину основания и перпендикулярную высоту пирамиды (расстояние по вертикали от основания до вершины). Нажмите «Рассчитать», чтобы увидеть полную площадь поверхности с разбивкой на площадь основания и боковую (треугольную) площадь, а также две апофемы, которые используются в расчёте.
Разбор формулы
Формула выглядит так:
$$A = l\,w + l\sqrt{\left(\tfrac{w}{2}\right)^2 + h^2} + w\sqrt{\left(\tfrac{l}{2}\right)^2 + h^2}$$Слагаемое \(lw\) — это площадь прямоугольного основания. Каждая пара противоположных треугольных граней имеет общую апофему. Апофема граней, расположенных вдоль длины, равна \(\sqrt{\left(\tfrac{w}{2}\right)^2 + h^2}\), а апофема граней вдоль ширины — \(\sqrt{\left(\tfrac{l}{2}\right)^2 + h^2}\). Умножив каждую апофему на соответствующее ребро основания и сложив результаты, получаем площадь боковой поверхности.
Пример расчёта
Пусть \(l = 6\), \(w = 4\), \(h = 10\). Площадь основания \(= 6 \times 4 = 24\). Апофема \(s_1 = \sqrt{\left(\tfrac{4}{2}\right)^2 + 10^2} = \sqrt{4 + 100} = \sqrt{104} \approx 10{,}198\), а \(s_2 = \sqrt{\left(\tfrac{6}{2}\right)^2 + 10^2} = \sqrt{9 + 100} = \sqrt{109} \approx 10{,}440\). Боковая площадь \(= 6 \times 10{,}198 + 4 \times 10{,}440 \approx 61{,}188 + 41{,}761 = 102{,}949\). Итого \(\approx 24 + 102{,}949 =\) 126,95 квадратных единиц.
Частые вопросы
Высота и апофема — это одно и то же? Нет. Высота — это вертикальное расстояние от основания до вершины. Апофема проходит вдоль боковой грани и всегда длиннее высоты.
Почему апофемы две? Поскольку основание — прямоугольник, грани вдоль длины и грани вдоль ширины имеют разные апофемы. Они совпадут только в том случае, если основание квадратное.
А если нужна только боковая площадь? Посмотрите строку «Боковая площадь» в результатах — она не учитывает основание.
