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परिणाम

Answer (A × B)

528

गुणनफल

भारतीय विधि (ऊर्ध्व-तिर्यग्भ्याम्) के चरण
Hundreds partial: H = a1 × b1	4 → 400
Cross terms: M = a1×b0 + a0×b1	12 → 120
Units partial: L = a0 × b0	8 → 8
Sum: 100·H + 10·M + L	528

यह कैलकुलेटर क्या करता है

यह टूल दो दो-अंकीय संख्याओं को गुणा करता है, जिनमें से प्रत्येक का मान 20 से 99 के बीच होना चाहिए (यानी "बीस से नब्बे" तक), और उत्तर पलक झपकते ही दिखा देता है। साथ ही यह मन ही मन तेज़ी से गुणा करने की मशहूर "भारतीय विधि" (वैदिक गणित की तकनीक) को भी समझाता है, ताकि आप यही हिसाब अपने दिमाग़ में भी लगाना सीख सकें। संख्यात्मक उत्तर तो सामान्य गुणा ही है - यह किसी भी पूर्णांक पर काम करता है - लेकिन चरण-दर-चरण विश्लेषण इसे एक सीखने का साधन बना देता है। यह तकनीक सार्वभौमिक अंकगणित है; इसमें किसी देश-विशेष का कोई नियम लागू नहीं होता।

इसका उपयोग कैसे करें

अपनी पहली संख्या (A) और दूसरी संख्या (B) टाइप करें, दोनों 20 से 99 के बीच के पूर्ण अंक हों, और फिर उत्तर पढ़ें। उत्तर के नीचे आपको ऊर्ध्व-तिर्यग्भ्याम् (vertical-and-crosswise) विधि से विश्लेषण दिखेगा: एक सैकड़े वाला भाग, एक क्रॉस-पदों वाला भाग, और एक इकाई वाला भाग - ये तीनों जुड़कर अंतिम गुणनफल बनाते हैं।

सूत्र की व्याख्या

प्रत्येक संख्या को उसके दहाई और इकाई अंकों में इस तरह लिखें: $\text{A} = 10\cdot a_1 + a_0$ और $\text{B} = 10\cdot b_1 + b_0$। तब गुणनफल बराबर होता है

$$\text{A} \times \text{B} = 100\cdot(a_1 b_1) + 10\cdot(a_1 b_0 + a_0 b_1) + (a_0 b_0)$$

पहला पद सैकड़े देता है, बीच का "क्रॉस" पद दहाई का योगदान देता है, और अंतिम पद इकाई देता है। यह बीजगणितीय रूप से $\text{A} \times \text{B}$ के ठीक बराबर है, इसलिए उत्तर हमेशा सटीक रहता है।

दो दो-अंकीय संख्याओं के बीच ऊर्ध्वाधर और तिरछा गुणन पैटर्न, जो तीन परिणाम भाग दिखाता है — ऊर्ध्वाधर और तिरछा पैटर्न: दहाई गुना दहाई, तिरछा योग, और इकाई गुना इकाई।

हल किया हुआ उदाहरण

मान लीजिए $22 \times 24$ निकालना है। यहाँ $a_1=2$, $a_0=2$, $b_1=2$, $b_0=4$। सैकड़े: $H = 2\times2 = 4$ (यानी 400)। क्रॉस: $M = 2\times4 + 2\times2 = 12$ (यानी 120)। इकाई: $L = 2\times4 = 8$। योग:

$$400 + 120 + 8 = 528$$

जो $22 \times 24 = 528$ से मेल खाता है।

गुणनफल का स्थानमान विभाजन सैकड़ा, दहाई और इकाई स्तंभों में — हर भाग अपने स्थानमान में बैठता है: सैकड़ा, दहाई (तिरछा) और इकाई।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

क्या भारतीय विधि से अलग उत्तर आता है? नहीं। यह तो बस वही गुणनफल अपने दिमाग़ में और तेज़ी से निकालने का एक व्यवस्थित तरीका है।

क्या मैं 20-99 से बाहर की संख्याएँ इस्तेमाल कर सकता हूँ? गुणा खुद किसी भी संख्या पर काम करता है, लेकिन चरण-दर-चरण विश्लेषण तभी दिखता है जब दोनों संख्याएँ ठीक दो अंकों की हों, ताकि दहाई के अंक एकल बने रहें।

तीन भागों में क्यों बाँटते हैं? स्थानीय मान (सैकड़े, दहाई, इकाई) के अनुसार बाँटने से आप एक बड़ी गुणा करने के बजाय छोटे-छोटे आंशिक गुणनफल जोड़ सकते हैं, जो मन में करना कहीं आसान होता है।

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