रेखा गुणन क्या है?
रेखा गुणन (जिसे अक्सर वैदिक या भारतीय रेखा विधि कहा जाता है) पूर्ण संख्याओं को गुणा करने का एक दृश्य तरीका है, जिसमें तिरछी रेखाओं के दो समूह आपस में काटते हुए खींचे जाते हैं और जहाँ वे एक-दूसरे को काटती हैं, उन बिंदुओं को गिना जाता है। पहली संख्या का हर अंक एक दिशा में समानांतर रेखाओं की एक पट्टी बन जाता है, और दूसरी संख्या का हर अंक उसे काटती हुई दिशा में एक पट्टी बनाता है। हर तिरछे स्तंभ के साथ कटान बिंदु गिनने पर उत्तर के अंक मिल जाते हैं। यह कैलकुलेटर आपको तुरंत सटीक गुणनफल देता है और साथ ही कटान की गिनती को स्थान के अनुसार खोलकर दिखाता है, ताकि आप खुद चित्र बना सकें।
इसका उपयोग कैसे करें
अपनी पहली संख्या (यानी "सवाल") और दूसरी संख्या दर्ज करें, फिर उत्तर वाले बॉक्स को पढ़ें। दो अंकों वाली संख्याओं के लिए सारणी तीन कटान समूह दिखाती है — सैकड़ा (बाईं ओर के कटान), दहाई (बीच के कटान) और इकाई (दाईं ओर के कटान) — ठीक वही जो आप खींची गई रेखाओं से गिनते, इससे पहले कि दाएँ से बाएँ हासिल (कैरी) निपटाई जाए।
सूत्र की व्याख्या
गुणनफल तो साधारण अंकगणित है: गुणनफल = गुण्य × गुणक। रेखा विधि उन्हीं आंशिक गुणनफलों को व्यवस्थित करने का एक ज्यामितीय तरीका है। मान लीजिए \(a = 10a_1 + a_0\) और \(b = 10b_1 + b_0\) — तब इकाई स्तंभ \(a_0 \cdot b_0\) गिनता है, बीच का स्तंभ \(a_1 \cdot b_0 + a_0 \cdot b_1\) गिनता है, और बाएँ वाला स्तंभ \(a_1 \cdot b_1\) गिनता है। हर स्तंभ को दाएँ से बाएँ हल करें, दहाई को अगले स्तंभ में हासिल के रूप में ले जाएँ, और अंकों को जोड़कर लिखें।
$$\text{First} \times \text{Second} = 100\,(a_1 b_1) + 10\,(a_1 b_0 + a_0 b_1) + (a_0 b_0)$$
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए \(12 \times 23\)। यहाँ \(a_1=1\), \(a_0=2\), \(b_1=2\), \(b_0=3\)। इकाई \(= 2 \cdot 3 = 6\) (अंक 6, कोई हासिल नहीं)। दहाई \(= 1 \cdot 3 + 2 \cdot 2 = 7\) (अंक 7)। सैकड़ा \(= 1 \cdot 2 = 2\)। इन्हें \(2 \mid 7 \mid 6\) के रूप में पढ़ने पर 276 मिलता है, जो $$12 \times 23 = 276$$ से मेल खाता है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
क्या यह किसी भी संख्या पर काम करता है? गुणनफल किसी भी पूर्ण संख्या के लिए सही आता है। खींची गई रेखाओं वाला चित्र छोटे धनात्मक बहु-अंकीय पूर्णांकों के लिए सबसे स्वाभाविक रहता है; बड़ी हासिल होने पर आप स्तंभों को साधारण जोड़ की तरह ही हल कर लेते हैं।
अगर किसी अंक में 0 हो तो? शून्य अंक का मतलब है उस पट्टी में कोई रेखा नहीं, इसलिए उसके समूहों में कोई कटान नहीं होता — यह अपने-आप संभल जाता है।
ऋणात्मक संख्याओं का क्या? सामान्य चिह्न नियमों से सही गुणनफल मिल जाता है, पर रेखा वाला चित्र केवल अऋणात्मक पूर्णांकों के लिए ही अर्थपूर्ण होता है, इसलिए चित्र बनाते समय निरपेक्ष मान (absolute values) का उपयोग करें।
