ما هي حاسبة الزاوية بجيب التمام العكسي؟
تُستخدم هذه الحاسبة لإيجاد زاوية مثلث قائم عندما تعرف طول الضلع المجاور للزاوية وطول الوتر. وهي تعتمد على دالة جيب التمام العكسي (arccos)، وهي العملية الرياضية التي تُلغي تأثير جيب التمام: فإذا كان \(\cos(\theta) = \text{المجاور} \div \text{الوتر}\)، فإن \(\theta = \arccos(\text{المجاور} \div \text{الوتر})\). وتظهر النتيجة بوحدتي الدرجات والراديان معًا.
طريقة الاستخدام
أدخل طول الضلع المجاور ثم طول الوتر. الضلع المجاور هو الضلع الملاصق للزاوية (باستثناء الوتر)، أما الوتر فهو أطول أضلاع المثلث ويقع مقابل الزاوية القائمة. اضغط على زر الحساب لقراءة قيمة الزاوية. وبما أنّ قيم جيب التمام يجب أن تنحصر بين -1 و 1، فإنّ النسبة تُضبط تلقائيًا ضمن هذا المجال، بحيث تظل قيمة المجاور التي تتجاوز الحدّ قليلًا تُعطي زاوية صحيحة.
شرح المعادلة
في المثلث القائم يساوي جيب تمام الزاوية حاصلَ قسمة الضلع المجاور على الوتر. وعند عكس هذه العلاقة نحصل على الزاوية مباشرةً:
$$\theta = \arccos\!\left(\frac{\text{المجاور}}{\text{الوتر}}\right)$$
تُرجع دالة جيب التمام العكسي قيمة تتراوح بين 0 و 180° (أي من 0 إلى \(\pi\) راديان). ولتحويل الراديان إلى درجات، اضرب القيمة في \(180/\pi \approx 57.29578\).
مثال محلول
لنفترض أنّ طول الضلع المجاور هو 4 وطول الوتر هو 5. فتكون النسبة \(4 \div 5 = 0.8\). ومنها $$\theta = \arccos(0.8) \approx 0.6435 \text{ راديان} \approx 36.8699°$$ وهذا هو المثلث القائم الشهير 3-4-5، الذي تبلغ زاويتاه نحو 36.87° و 53.13°.
قيم قوس الجيب التمام الشائعة
تأخذ دالة قوس الجيب التمام نسبة بين \(-1\) و \(1\) وتعيد الزاوية التي يساوي جيب تمامها تلك النسبة. عندما تأتي النسبة من مثلث قائم، فهي الضلع المجاور مقسوماً على الوتر، إذن \(\theta = \arccos\!\left(\frac{\text{المجاور}}{\text{الوتر}}\right)\). الجدول أدناه يسرد قيم المرجع القياسية المستخدمة بشكل متكرر.
| النسبة (المجاور / الوتر) | الزاوية (درجات) | الزاوية (راديان) |
|---|---|---|
| 1 | 0° | 0 |
| 0.866 (\(\tfrac{\sqrt3}{2}\)) | 30° | \(\pi/6 \approx 0.5236\) |
| 0.707 (\(\tfrac{\sqrt2}{2}\)) | 45° | \(\pi/4 \approx 0.7854\) |
| 0.5 | 60° | \(\pi/3 \approx 1.0472\) |
| 0 | 90° | \(\pi/2 \approx 1.5708\) |
| -0.5 | 120° | \(2\pi/3 \approx 2.0944\) |
| -1 | 180° | \(\pi \approx 3.1416\) |
لاحظ أن قوس الجيب التمام يعيد زوايا من 0° إلى 180° (0 إلى \(\pi\) راديان). بالنسبة لمثلث قائم فعلي، النسبة تكون دائماً بين 0 و 1، مما يعطي زوايا حادة من 0° إلى 90°؛ النسب السالبة تظهر فقط في علم المثلثات الأعم.
الزاوية عبر نسب الأضلاع المختلفة
تستخدم هذه الأمثلة ثلاثيات فيثاغورية معروفة وكسوراً بسيطة. يحسب كل صف النسبة \(\frac{\text{المجاور}}{\text{الوتر}}\) ثم الزاوية \(\theta = \arccos(\text{النسبة})\). على سبيل المثال، مع المجاور \(=3\) والوتر \(=5\)، النسبة هي \(0.6\) و \(\theta = \arccos(0.6) = 53.13°\).
| المجاور | الوتر | النسبة | الزاوية (درجات) | الزاوية (راديان) |
|---|---|---|---|---|
| 3 | 5 | 0.6000 | 53.13° | 0.9273 |
| 4 | 5 | 0.8000 | 36.87° | 0.6435 |
| 1 | 2 | 0.5000 | 60.00° | 1.0472 |
| 5 | 13 | 0.3846 | 67.38° | 1.1760 |
| 12 | 13 | 0.9231 | 22.62° | 0.3948 |
توضح مثلثات 3-4-5 و 5-12-13 فحصاً مفيداً: الزاويتان غير القائمة في كل مثلث تضافان إلى 90°. في مثلث 3-4-5، \(53.13° + 36.87° = 90°\)، مما يؤكد أن قوس الجيب التمام لنسبة ضلع واحد يساوي قوس الجيب للضلع الآخر.
الأسئلة الشائعة
لماذا يجب أن تكون النسبة بين -1 و 1؟ لأنّ جيب التمام لا يتجاوز 1 ولا يقل عن -1 أبدًا، لذا فإنّ أي نسبة أكبر من ذلك مستحيلة فيزيائيًا في مثلث حقيقي. وتقوم الحاسبة بضبط المُدخل ضمن النطاق ليبقى الناتج معرّفًا.
ماذا لو كان الوتر أقصر من الضلع المجاور؟ هذا لا يمكن أن يحدث في مثلث قائم صحيح، لأنّ الوتر هو دائمًا أطول الأضلاع. وتتعامل الحاسبة مع مثل هذه المُدخلات بسلاسة عبر إرجاع القيمة 0°.
هل يمكنني الحصول على النتيجة بالراديان؟ نعم — يعرض جدول النتائج قيمة الزاوية بالراديان إلى جانب قيمتها بالدرجات.
