Qu'est-ce que le convertisseur de base numérique ?
Cet outil convertit un nombre d'un système de numération positionnel à un autre — entre le binaire (base 2), l'octal (base 8), le décimal (base 10) et l'hexadécimal (base 16). Il est très utilisé en informatique, en électronique numérique et en programmation, domaines où une même valeur s'écrit différemment selon le contexte.
Comment l'utiliser
Saisissez le nombre à convertir, indiquez la base dans laquelle il est actuellement écrit sous « Base de départ », puis choisissez la base souhaitée sous « Base d'arrivée ». Le convertisseur affiche le résultat converti et indique également l'équivalent en décimal (base 10), ce qui vous permet de vérifier facilement la conversion.
La formule expliquée
Tout nombre est la somme de chaque chiffre multiplié par la base élevée à la puissance correspondant à sa position :
$$\text{Result}_{(\text{To base})} = \left( \sum_{i=0}^{k-1} d_i \cdot \text{From base}^{\,i} \right)_{(\text{To base})}$$les positions étant comptées de droite à gauche en partant de 0. Pour faire l'opération inverse, le convertisseur divise successivement la valeur décimale par la base cible et note les restes ; en lisant ces restes du dernier au premier, on obtient les chiffres dans la nouvelle base.
Exemple concret
Convertissons le binaire 1010 en décimal : \(1\cdot2^3 + 0\cdot2^2 + 1\cdot2^1 + 0\cdot2^0 = 8 + 0 + 2 + 0 = 10\).
$$1\cdot2^3 + 0\cdot2^2 + 1\cdot2^1 + 0\cdot2^0 = 8 + 0 + 2 + 0 = 10$$Pour convertir le décimal 255 en hexadécimal : \(255 \div 16 = 15\) reste 15 (F), \(15 \div 16 = 0\) reste 15 (F) ; le résultat est donc FF.
Valeurs communes entre les bases
Le tableau ci-dessous montre la même valeur numérique exprimée dans les quatre bases positionnelles communes : binaire (base 2), octale (base 8), décimale (base 10) et hexadécimale (base 16). Les petites valeurs consécutives (0–16) sont utiles pour apprendre comment chaque base compte, tandis que les puissances de deux et les limites d'octet (32, 64, 128, 255, 256) apparaissent constamment en informatique car la mémoire et les registres sont organisés autour de groupes de bits.
| Décimale (base 10) | Binaire (base 2) | Octale (base 8) | Hexadécimale (base 16) |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 3 | 3 |
| 4 | 100 | 4 | 4 |
| 5 | 101 | 5 | 5 |
| 6 | 110 | 6 | 6 |
| 7 | 111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | A |
| 11 | 1011 | 13 | B |
| 12 | 1100 | 14 | C |
| 13 | 1101 | 15 | D |
| 14 | 1110 | 16 | E |
| 15 | 1111 | 17 | F |
| 16 | 10000 | 20 | 10 |
| 32 | 100000 | 40 | 20 |
| 64 | 1000000 | 100 | 40 |
| 128 | 10000000 | 200 | 80 |
| 255 | 11111111 | 377 | FF |
| 256 | 100000000 | 400 | 100 |
Notez qu'un chiffre hexadécimal correspond exactement à quatre chiffres binaires (un quartet), donc 255 tient en deux chiffres hexadécimaux (FF) et huit chiffres binaires, la taille d'un seul octet.
Termes clés des systèmes de numération
- Base (base)
- Le nombre de symboles de chiffres distincts qu'un système de numération positionnelle utilise, et la valeur par laquelle chaque place successive est multipliée. La base 10 utilise dix symboles (0–9) ; la base 2 en utilise deux (0–1). Les termes base et base sont interchangeables.
- Binaire (base 2)
- Un système de numération utilisant uniquement les chiffres 0 et 1. Chaque place représente une puissance de deux. Le binaire est le langage natif de l'électronique numérique car un circuit représente facilement deux états (arrêt/marche).
- Octale (base 8)
- Un système de numération utilisant les chiffres 0–7, où chaque place est une puissance de huit. Un chiffre octal se mappe proprement sur trois chiffres binaires, ce qui en a historiquement fait une notation compacte pour le binaire.
- Décimale (base 10)
- Le système de numération quotidien utilisant les chiffres 0–9, avec chaque place une puissance de dix. C'est la base par défaut pour l'arithmétique humaine.
- Hexadécimale (base 16)
- Un système de numération utilisant les chiffres 0–9 et les lettres A–F (représentant 10–15), avec chaque place une puissance de seize. Un chiffre hexadécimal égale exactement quatre chiffres binaires, ce qui fait de l'hexadécimal une façon compacte d'écrire les valeurs d'octet.
- Chiffre
- Un symbole unique dans un nombre. Les chiffres autorisés dépendent de la base — par exemple, la base 16 autorise les symboles de chiffres 0–9 et A–F.
- Notation positionnelle
- Un système dans lequel la valeur d'un chiffre dépend de sa position. La valeur d'un nombre est la somme de chaque chiffre multiplié par la base élevée à la puissance de sa place, par exemple \(101_2 = 1\cdot2^2 + 0\cdot2^1 + 1\cdot2^0 = 5\).
- Chiffre le plus significatif (CMS)
- Le chiffre le plus à gauche d'un nombre — celui à la place de plus grande valeur, contribuant le plus au total.
- Chiffre le moins significatif (CLS)
- Le chiffre le plus à droite d'un nombre — celui à la place de plus faible valeur (la place des unités), contribuant le moins.
- Quartet
- Un groupe de quatre chiffres binaires (bits). Un quartet contient les valeurs 0–15 et correspond exactement à un chiffre hexadécimal.
- Octet
- Un groupe de huit bits (deux quartets), capable de représenter 256 valeurs distinctes (0–255, ou 00–FF en hexadécimal). L'octet est l'unité standard du stockage numérique.
FAQ
Gère-t-il les lettres en hexadécimal ? Oui — l'hexadécimal utilise les lettres A à F pour représenter 10 à 15, et la saisie ne tient pas compte de la casse (majuscules ou minuscules).
Puis-je convertir des nombres négatifs ? Oui, faites précéder la valeur d'un signe moins et celui-ci sera conservé.
Que se passe-t-il si ma saisie est invalide ? Si un chiffre n'est pas autorisé dans la base de départ choisie (par exemple « 9 » en binaire), le résultat affiche « Saisie invalide ».
