ما هو محول النظام الثنائي إلى العشري؟

محول النظام الثنائي إلى العشري أداة تحوّل رقمًا مكتوبًا بالأساس 2 (باستخدام الرقمين 0 و1 فقط) إلى ما يقابله في الأساس 10، وهو نظام الأرقام الذي نستخدمه يوميًا. تخزّن الحواسيب كل شيء وتعالجه في صورة ثنائية، لذا يصبح التحويل إلى النظام العشري ضروريًا كلما احتجت إلى قيمة مفهومة للإنسان انطلاقًا من البِتّات الخام، أو مقاطع الذاكرة، أو أقنعة الشبكة، أو مخرجات البرمجة.

كيفية الاستخدام

اكتب الرقم الثنائي في الحقل المخصص — مثل 101101 — وستعرض لك الأداة القيمة العشرية إلى جانب عدد البِتّات. يتم تجاهل أي رمز غير الصفر أو الواحد، لذا يمكنك بأمان لصق مجموعات مفصولة بمسافات مثل 1011 0101.

شرح الصيغة الحسابية

يحمل كل رقم ثنائي (بِت) وزنًا موضعيًا يساوي العدد 2 مرفوعًا إلى أُس يطابق موضعه، بدءًا من اليمين انطلاقًا من الموضع 0. والقيمة العشرية هي مجموع كل بِت مضروبًا في وزنه:

$$\text{Decimal} = \sum_{i=0}^{n-1} d_i \cdot 2^{\,n-1-i}, \quad d_i \in \text{Binary Number}$$

فالبِت الواقع في أقصى اليمين وزنه $2^0 = 1$، يليه $2^1 = 2$، ثم $2^2 = 4$، ثم $2^3 = 8$، وهكذا.

Binary digits aligned under their positional powers of two — Each bit is multiplied by a power of two based on its position.

مثال محلول

لنحوّل الرقم 101101. بالقراءة من اليمين إلى اليسار وبالأوزان 1 و2 و4 و8 و16 و32:

$$(1\cdot32) + (0\cdot16) + (1\cdot8) + (1\cdot4) + (0\cdot2) + (1\cdot1) = 32 + 8 + 4 + 1 = 45$$

إذًا الرقم الثنائي 101101 يساوي العدد العشري 45.

Step-by-step conversion of binary 1011 into decimal by summing weighted bits — Summing the weighted bits of 1011 gives the decimal value 11.

قوى العدد اثنين في الأوزان الموضعية

في العدد الثنائي، يحمل كل بت وزناً موضعياً يساوي قوة من قوى العدد اثنين. البت الأيمن (الموضع 0) يحمل الوزن $2^0 = 1$، وكل موضع إلى اليسار يضاعف الوزن. للتحويل يدويًا، اضرب كل بت في وزنه وأضف النتائج:

$$\text{عشري} = \sum_{i=0}^{n-1} d_i \cdot 2^{\,i}$$

حيث $i$ يعد المواضع من اليمين (البت الأقل أهمية)، بدءاً من 0.

موضع البت $i$	القوة $2^i$	الوزن العشري
0	$2^0$	1
1	$2^1$	2
2	$2^2$	4
3	$2^3$	8
4	$2^4$	16
5	$2^5$	32
6	$2^6$	64
7	$2^7$	128
8	$2^8$	256
9	$2^9$	512
10	$2^{10}$	1,024
11	$2^{11}$	2,048
12	$2^{12}$	4,096
13	$2^{13}$	8,192
14	$2^{14}$	16,384
15	$2^{15}$	32,768
16	$2^{16}$	65,536

بالنسبة لبايت 8 بت، القيمة الحد الأقصى هي $2^8 - 1 = 255$ (جميع البتات الثمانية مضبوطة على 1)، وبالنسبة لـ 16 بت، فإنها $2^{16} - 1 = 65{,}535$.

المزيد من الأمثلة المحلولة

كل مثال يوازي كل بت مع وزنه الموضعي من الجدول أعلاه، ويحتفظ فقط بالأوزان حيث يكون البت 1، ويضيفها للحصول على القيمة العشرية.

المثال 1: 11111111 (8 بتات جميعها مضبوطة)

كل بت هو 1، لذلك نضيف جميع الأوزان الثمانية من الموضع 7 إلى الموضع 0:

$$128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1$$

المجموع هو 255، وهي أكبر قيمة يمكن لبايت 8 بت أن يحتويها.

المثال 2: 10000000

فقط البت الأيسر (الموضع 7) هو 1؛ جميع المواضع الأخرى تساهم بـ 0:

$$1\cdot128 + 0\cdot64 + 0\cdot32 + 0\cdot16 + 0\cdot8 + 0\cdot4 + 0\cdot2 + 0\cdot1$$

يبسط هذا إلى مجرد الوزن الواحد $2^7$، مما يعطي 128.

المثال 3: 110010101 (9 بتات)

كتابة البتات مع أوزانها الموضعية، البتات 1 تجلس في المواضع 8، 7، 4، 2 و 0:

البت	1	1	0	0	1	0	1	0	1
الموضع	8	7	6	5	4	3	2	1	0
الوزن	256	128	64	32	16	8	4	2	1

إضافة الأوزان فقط حيث يكون البت 1:

$$256 + 128 + 16 + 4 + 1$$

النتيجة العشرية هي 405. يمكنك تأكيد الاتجاه العكسي باستخدام محول عشري إلى ثنائي بإدخال 405 والتحقق من أنه يعيد 110010101.

الأسئلة الشائعة

ما أكبر رقم ثنائي مكوّن من 8 بِتّات؟ إنه 11111111، ويساوي 255 في النظام العشري ($2^8 - 1$).

هل يمكنني إدخال أصفار في البداية؟ نعم. الأصفار في البداية لا تغيّر القيمة — فالرقم 0010 مماثل للرقم 10، وكلاهما يساوي 2 في النظام العشري.

هل تدعم الأداة الكسور الثنائية؟ لا، فهذه الأداة تحوّل الأعداد الثنائية الصحيحة فقط، ولا تدعم الأجزاء الكسرية الواقعة بعد الفاصلة.

محول النظام الثنائي إلى العشري

أدخل الحساب

صيغة رياضية

نتائج