Qu'est-ce que le calculateur d'angle d'horloge ?
Cet outil détermine l'angle formé entre l'aiguille des heures et celle des minutes d'une horloge analogique pour n'importe quelle heure. C'est un grand classique des problèmes de mathématiques et des entretiens d'embauche, mais il s'avère aussi pratique pour enseigner la géométrie, travailler sur des mécanismes d'horlogerie ou tout simplement assouvir sa curiosité. Saisissez une heure et une minute : le calculateur affiche aussi bien l'angle saillant (le plus petit) que l'angle rentrant.
Comment l'utiliser
Indiquez l'heure (de 0 à 12) et les minutes (de 0 à 59), puis lisez le résultat. Par exemple, à 3 h 00, les aiguilles dessinent un angle droit parfait de \(90^\circ\). Le calculateur tient automatiquement compte du fait que l'aiguille des heures avance en continu au fil des minutes : elle ne reste pas figée sur le chiffre.
La formule expliquée
L'aiguille des minutes parcourt \(360^\circ\) en 60 minutes, soit \(6^\circ\) par minute. L'aiguille des heures parcourt \(360^\circ\) en 12 heures (720 minutes), soit \(0{,}5^\circ\) par minute. À partir de la position de midi, l'aiguille des heures se trouve à \(30H + 0{,}5M\) degrés et celle des minutes à \(6M\) degrés. La différence vaut donc :
$$\text{angle} = \left| (30H + 0{,}5M) - 6M \right| = \left| 30H - 5{,}5M \right|$$
Si cette valeur dépasse \(180^\circ\), on la soustrait de \(360^\circ\) pour obtenir le plus petit angle entre les deux aiguilles.
Exemple détaillé
À 3 h 30, \(H = 3\) et \(M = 30\). On calcule alors \(30 \times 3 = 90\) et \(5{,}5 \times 30 = 165\). La différence est $$\left| 90 - 165 \right| = 75^\circ.$$ Comme \(75^\circ \le 180^\circ\), l'angle entre les aiguilles à 3 h 30 est de \(75^\circ\), et l'angle rentrant vaut \(360 - 75 = 285^\circ\).
Angles des aiguilles à des heures courantes
L'angle entre l'aiguille des heures et l'aiguille des minutes se calcule avec la formule \(\theta = |30H - 5.5M|\), où \(H\) est l'heure (mod 12) et \(M\) est les minutes. Si le résultat dépasse 180°, l'angle plus petit (non réflexe) est \(360^\circ - \theta\). Le tableau ci-dessous énumère l'angle non réflexe pour une plage d'heures courantes.
| Heure | Calcul \(|30H-5.5M|\) | Angle non réflexe |
|---|---|---|
| 12:00 | |30·0 − 5.5·0| = 0 | 0° |
| 1:00 | |30·1 − 5.5·0| = 30 | 30° |
| 2:00 | |30·2 − 5.5·0| = 60 | 60° |
| 3:00 | |30·3 − 5.5·0| = 90 | 90° |
| 4:00 | |30·4 − 5.5·0| = 120 | 120° |
| 5:00 | |30·5 − 5.5·0| = 150 | 150° |
| 6:00 | |30·6 − 5.5·0| = 180 | 180° |
| 7:00 | |30·7 − 5.5·0| = 210 → 360−210 | 150° |
| 8:00 | |30·8 − 5.5·0| = 240 → 360−240 | 120° |
| 9:00 | |30·9 − 5.5·0| = 270 → 360−270 | 90° |
| 10:00 | |30·10 − 5.5·0| = 300 → 360−300 | 60° |
| 11:00 | |30·11 − 5.5·0| = 330 → 360−330 | 30° |
| 3:15 | |30·3 − 5.5·15| = |90 − 82.5| = 7.5 | 7.5° |
| 6:30 | |30·6 − 5.5·30| = |180 − 165| = 15 | 15° |
| 9:45 | |30·9 − 5.5·45| = |270 − 247.5| = 22.5 | 22.5° |
| 12:30 | |30·0 − 5.5·30| = 165 | 165° |
Autres exemples résolus
Chaque exemple applique \(\theta = |30H - 5.5M|\), puis vérifie si le résultat dépasse 180° (auquel cas l'angle réflexe est signalé séparément).
Exemple 1 — 9:30 (un cas d'angle réflexe)
- Heure \(H = 9\), minute \(M = 30\).
- \(30 \cdot 9 = 270\) et \(5.5 \cdot 30 = 165\).
- \(\theta = |270 - 165| = 105\).
- Puisque 105° est inférieur à 180°, l'angle non réflexe est 105°, et l'angle réflexe est \(360 - 105 = 255^\circ\).
Exemple 2 — 12:00 (les aiguilles se chevauchent)
- Heure \(H = 12\), ce qui est \(12 \bmod 12 = 0\); minute \(M = 0\).
- \(30 \cdot 0 = 0\) et \(5.5 \cdot 0 = 0\).
- \(\theta = |0 - 0| = 0\).
- Les aiguilles coïncident exactement, donc l'angle est 0°.
Exemple 3 — 4:20 (position fractionnaire)
- Heure \(H = 4\), minute \(M = 20\).
- \(30 \cdot 4 = 120\) et \(5.5 \cdot 20 = 110\).
- \(\theta = |120 - 110| = 10\).
- Le petit écart de 10° reflète que l'aiguille des heures a déjà dérivé des deux tiers du chemin du 4 vers le 5 à 20 minutes passées, rattrapant presque l'aiguille des minutes à la marque du 4. Le coefficient \(5.5\) capture ceci : l'aiguille des minutes se déplace de 6°/min tandis que l'aiguille des heures se déplace de 0.5°/min, une vitesse relative de 5.5°/min.
FAQ
Pourquoi 3 h 30 ne donne-t-il pas exactement \(90^\circ\) ? Parce qu'au bout de 30 minutes, l'aiguille des heures a déjà parcouru la moitié du chemin vers le 4, ce qui réduit l'angle à \(75^\circ\).
Qu'est-ce que l'angle rentrant ? C'est le plus grand angle (supérieur à \(180^\circ\)), mesuré dans l'autre sens autour du cadran ; les deux angles font toujours \(360^\circ\) à eux deux.
Puis-je saisir 12 ? Oui — 12 est traité comme 0, puisque l'aiguille des heures revient au sommet du cadran.
