घड़ी कोण कैलकुलेटर क्या है?
यह कैलकुलेटर किसी भी दिए गए समय पर एनालॉग घड़ी की घंटे और मिनट की सुई के बीच बनने वाला कोण निकालता है। यह गणित और इंटरव्यू का एक मशहूर सवाल है, और साथ ही ज्यामिति पढ़ाने, घड़ी की मशीनरी समझने या यूँ ही जिज्ञासा शांत करने के लिए भी काम आता है। आप बस घंटा और मिनट डालिए, और टूल आपको छोटा (नॉन-रिफ्लेक्स) कोण और रिफ्लेक्स कोण दोनों बता देगा।
इसे कैसे इस्तेमाल करें
घंटा (0 से 12) और मिनट (0 से 59) टाइप कीजिए, और नतीजा देख लीजिए। उदाहरण के लिए, 3:00 बजे दोनों सुइयाँ एकदम सही समकोण यानी \(90^\circ\) बनाती हैं। यह कैलकुलेटर इस बात का अपने-आप ध्यान रखता है कि मिनट बीतने के साथ घंटे की सुई लगातार आगे खिसकती रहती है — वह किसी एक अंक पर टिकी नहीं रहती।
सूत्र की पूरी समझ
मिनट की सुई 60 मिनट में \(360^\circ\) घूमती है, यानी हर मिनट में \(6^\circ\)। घंटे की सुई 12 घंटे (720 मिनट) में \(360^\circ\) घूमती है, यानी हर मिनट में \(0.5^\circ\)। 12 बजे की स्थिति से नापें तो घंटे की सुई \(30H + 0.5M\) डिग्री पर होती है और मिनट की सुई \(6M\) डिग्री पर। इन दोनों का अंतर है:
$$\theta = \left| (30H + 0.5M) - 6M \right| = \left| 30H - 5.5M \right|$$
अगर यह मान \(180^\circ\) से ज़्यादा निकले, तो हम इसे \(360^\circ\) में से घटा देते हैं ताकि दोनों सुइयों के बीच का छोटा कोण सामने आए।
हल किया हुआ उदाहरण
3:30 बजे, \(H = 3\) और \(M = 30\)। तो \(30 \times 3 = 90\) और \(5.5 \times 30 = 165\)। इनका अंतर है $$\left| 90 - 165 \right| = 75^\circ$$ चूँकि \(75^\circ \le 180^\circ\) है, इसलिए 3:30 बजे दोनों सुइयों के बीच का कोण \(75^\circ\) है, और रिफ्लेक्स कोण \(360 - 75 = 285^\circ\) है।
आम समय पर घड़ी के कोण
घंटे और मिनट की सुइयों के बीच का कोण सूत्र \(\theta = |30H - 5.5M|\) से ज्ञात किया जाता है, जहाँ \(H\) घंटा (mod 12) है और \(M\) मिनट है। यदि परिणाम 180° से अधिक है, तो छोटा (गैर-प्रतिवर्ती) कोण \(360^\circ - \theta\) होता है। नीचे दी गई तालिका आम समय की एक श्रृंखला के लिए गैर-प्रतिवर्ती कोण को सूचीबद्ध करती है।
| समय | गणना \(|30H-5.5M|\) | गैर-प्रतिवर्ती कोण |
|---|---|---|
| 12:00 | |30·0 − 5.5·0| = 0 | 0° |
| 1:00 | |30·1 − 5.5·0| = 30 | 30° |
| 2:00 | |30·2 − 5.5·0| = 60 | 60° |
| 3:00 | |30·3 − 5.5·0| = 90 | 90° |
| 4:00 | |30·4 − 5.5·0| = 120 | 120° |
| 5:00 | |30·5 − 5.5·0| = 150 | 150° |
| 6:00 | |30·6 − 5.5·0| = 180 | 180° |
| 7:00 | |30·7 − 5.5·0| = 210 → 360−210 | 150° |
| 8:00 | |30·8 − 5.5·0| = 240 → 360−240 | 120° |
| 9:00 | |30·9 − 5.5·0| = 270 → 360−270 | 90° |
| 10:00 | |30·10 − 5.5·0| = 300 → 360−300 | 60° |
| 11:00 | |30·11 − 5.5·0| = 330 → 360−330 | 30° |
| 3:15 | |30·3 − 5.5·15| = |90 − 82.5| = 7.5 | 7.5° |
| 6:30 | |30·6 − 5.5·30| = |180 − 165| = 15 | 15° |
| 9:45 | |30·9 − 5.5·45| = |270 − 247.5| = 22.5 | 22.5° |
| 12:30 | |30·0 − 5.5·30| = 165 | 165° |
अधिक हल किए गए उदाहरण
प्रत्येक उदाहरण \(\theta = |30H - 5.5M|\) को लागू करता है, फिर जाँचता है कि क्या परिणाम 180° से अधिक है (इस स्थिति में प्रतिवर्ती कोण अलग से रिपोर्ट किया जाता है)।
उदाहरण 1 — 9:30 (प्रतिवर्ती कोण मामला)
- घंटा \(H = 9\), मिनट \(M = 30\)।
- \(30 \cdot 9 = 270\) और \(5.5 \cdot 30 = 165\)।
- \(\theta = |270 - 165| = 105\)।
- चूंकि 105° 180° से कम है, गैर-प्रतिवर्ती कोण 105° है, और प्रतिवर्ती कोण \(360 - 105 = 255^\circ\) है।
उदाहरण 2 — 12:00 (सुइयाँ ओवरलैप करती हैं)
- घंटा \(H = 12\), जो \(12 \bmod 12 = 0\) है; मिनट \(M = 0\)।
- \(30 \cdot 0 = 0\) और \(5.5 \cdot 0 = 0\)।
- \(\theta = |0 - 0| = 0\)।
- सुइयाँ बिल्कुल मेल खाती हैं, इसलिए कोण 0° है।
उदाहरण 3 — 4:20 (भिन्नात्मक स्थिति)
- घंटा \(H = 4\), मिनट \(M = 20\)।
- \(30 \cdot 4 = 120\) और \(5.5 \cdot 20 = 110\)।
- \(\theta = |120 - 110| = 10\)।
- छोटा अंतराल 10° दर्शाता है कि घंटे की सुई 20 मिनट बाद 4 से 5 की ओर दो-तिहाई रास्ता तक पहले ही बढ़ चुकी है, 4 के अंक पर लगभग मिनट की सुई को पकड़ रही है। \(5.5\) गुणांक इसे पकड़ता है: मिनट की सुई 6°/मिनट घूमती है जबकि घंटे की सुई 0.5°/मिनट घूमती है, एक सापेक्ष गति 5.5°/मिनट है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
3:30 बजे ठीक \(90^\circ\) क्यों नहीं होता? क्योंकि 30 मिनट बीतने तक घंटे की सुई 4 की ओर आधा रास्ता खिसक चुकी होती है, जिससे कोण घटकर \(75^\circ\) रह जाता है।
रिफ्लेक्स कोण क्या होता है? यह बड़ा कोण (\(180^\circ\) से अधिक) होता है, जिसे घड़ी के दूसरी तरफ से नापा जाता है; दोनों कोणों का जोड़ हमेशा \(360^\circ\) होता है।
क्या मैं 12 डाल सकता हूँ? हाँ — 12 को 0 के बराबर ही माना जाता है, क्योंकि घंटे की सुई घूमकर वापस डायल के ऊपर वाली स्थिति पर आ जाती है।
