시계 각도 계산기란?
이 계산기는 원하는 시각에 아날로그 시계의 시침과 분침이 이루는 각도를 구해 줍니다. 수학 문제와 면접 단골 퀴즈로도 유명하고, 도형(기하) 수업이나 시계 부품을 다룰 때, 혹은 단순한 호기심을 풀고 싶을 때도 유용합니다. '시'와 '분'만 입력하면 작은 각(우각이 아닌 각)과 우각(reflex angle)을 모두 알려 줍니다.
사용 방법
'시'(0~12)와 '분'(0~59)을 입력한 뒤 결과를 확인하면 됩니다. 예를 들어 3시 정각에는 두 바늘이 정확히 90°의 직각을 이룹니다. 이 계산기는 분이 지날수록 시침이 멈춰 있지 않고 조금씩 움직인다는 점까지 자동으로 반영합니다 — 시침은 숫자 위에 고정되어 있지 않습니다.
공식 풀이
분침은 60분 동안 360°를 돌므로 1분에 6°씩 움직입니다. 시침은 12시간(720분) 동안 360°를 돌므로 1분에 0.5°씩 움직이죠. 12시 위치를 기준으로 보면, 시침은 \(30H + 0.5M\)도에, 분침은 \(6M\)도에 위치합니다. 두 값의 차이는 다음과 같습니다.
$$\theta = \left| (30H + 0.5M) - 6M \right| = \left| 30H - 5.5M \right|$$
이 값이 180°보다 크면 360°에서 빼서 두 바늘 사이의 더 작은 각을 결과로 보여 줍니다.
예제로 살펴보기
3시 30분이라면 \(H = 3\), \(M = 30\)입니다. \(30 \times 3 = 90\)이고 \(5.5 \times 30 = 165\)이므로, 차이는 \(\left| 90 - 165 \right| = 75°\)입니다. 75°는 180° 이하이므로 3시 30분에 두 바늘이 이루는 각도는 75°이고, 우각은 \(360 - 75 = 285°\)가 됩니다.
일반적인 시간의 시침과 분침 각도
시침과 분침 사이의 각도는 공식 \(\theta = |30H - 5.5M|\)으로 구합니다. 여기서 \(H\)는 시간(mod 12)이고 \(M\)은 분입니다. 결과가 180°를 초과하면, 더 작은 (비우각) 각도는 \(360^\circ - \theta\)입니다. 아래 표는 일반적인 시간 범위에 대한 비우각을 나열합니다.
| 시간 | 계산 \(|30H-5.5M|\) | 비우각 |
|---|---|---|
| 12:00 | |30·0 − 5.5·0| = 0 | 0° |
| 1:00 | |30·1 − 5.5·0| = 30 | 30° |
| 2:00 | |30·2 − 5.5·0| = 60 | 60° |
| 3:00 | |30·3 − 5.5·0| = 90 | 90° |
| 4:00 | |30·4 − 5.5·0| = 120 | 120° |
| 5:00 | |30·5 − 5.5·0| = 150 | 150° |
| 6:00 | |30·6 − 5.5·0| = 180 | 180° |
| 7:00 | |30·7 − 5.5·0| = 210 → 360−210 | 150° |
| 8:00 | |30·8 − 5.5·0| = 240 → 360−240 | 120° |
| 9:00 | |30·9 − 5.5·0| = 270 → 360−270 | 90° |
| 10:00 | |30·10 − 5.5·0| = 300 → 360−300 | 60° |
| 11:00 | |30·11 − 5.5·0| = 330 → 360−330 | 30° |
| 3:15 | |30·3 − 5.5·15| = |90 − 82.5| = 7.5 | 7.5° |
| 6:30 | |30·6 − 5.5·30| = |180 − 165| = 15 | 15° |
| 9:45 | |30·9 − 5.5·45| = |270 − 247.5| = 22.5 | 22.5° |
| 12:30 | |30·0 − 5.5·30| = 165 | 165° |
추가 풀이 예제
각 예제는 \(\theta = |30H - 5.5M|\)을 적용한 후, 결과가 180°를 초과하는지 확인합니다(우각이 별도로 보고되는 경우).
예제 1 — 9:30 (우각 경우)
- 시간 \(H = 9\), 분 \(M = 30\).
- \(30 \cdot 9 = 270\) 그리고 \(5.5 \cdot 30 = 165\).
- \(\theta = |270 - 165| = 105\).
- 105°는 180°보다 작으므로, 비우각은 105°이고, 우각은 \(360 - 105 = 255^\circ\)입니다.
예제 2 — 12:00 (바늘이 겹침)
- 시간 \(H = 12\)는 \(12 \bmod 12 = 0\)이고, 분 \(M = 0\)입니다.
- \(30 \cdot 0 = 0\) 그리고 \(5.5 \cdot 0 = 0\).
- \(\theta = |0 - 0| = 0\).
- 바늘이 정확히 일치하므로, 각도는 0°입니다.
예제 3 — 4:20 (분수 위치)
- 시간 \(H = 4\), 분 \(M = 20\).
- \(30 \cdot 4 = 120\) 그리고 \(5.5 \cdot 20 = 110\).
- \(\theta = |120 - 110| = 10\).
- 10°의 작은 간격은 시침이 20분 시점에서 이미 4에서 5 방향으로 3분의 2 정도 이동했으며, 거의 4 위치의 분침과 만나가고 있음을 반영합니다. \(5.5\) 계수는 이를 포착합니다: 분침은 분당 6°로 이동하고 시침은 분당 0.5°로 이동하므로, 상대 속도는 분당 5.5°입니다.
자주 묻는 질문
3시 30분은 왜 정확히 90°가 아닌가요? 30분이 지나는 동안 시침이 이미 4를 향해 절반쯤 이동했기 때문입니다. 그만큼 각도가 75°로 줄어듭니다.
우각(reflex angle)이란 무엇인가요? 시계의 반대쪽으로 잰 더 큰 각(180°를 넘는 각)을 말합니다. 작은 각과 우각을 더하면 항상 360°가 됩니다.
12를 입력해도 되나요? 네. 시침이 다시 시계 맨 위로 돌아오기 때문에 12는 0과 똑같이 처리됩니다.
