Qu'est-ce que la calculatrice de soustraction binaire ?
Cet outil soustrait un nombre binaire (en base 2) d'un autre et affiche le résultat à la fois en binaire et en décimal. Le système binaire n'utilise que les chiffres 0 et 1, chaque position correspondant à une puissance de deux. Soustraire des nombres binaires à la main impose de gérer les retenues colonne par colonne, une opération propice aux erreurs : cette calculatrice s'en charge instantanément et vérifie le résultat grâce à l'arithmétique décimale.
Comment l'utiliser
Saisissez le premier nombre binaire (le diminuende) puis le second (le diminuteur), en n'utilisant que des 0 et des 1. Cliquez sur « Calculer » pour afficher la différence en binaire, ainsi que la valeur décimale de chaque opérande et du résultat. Si le second nombre est plus grand, le résultat apparaît sous forme de valeur binaire négative (précédée d'un signe moins).
La formule expliquée
La méthode la plus simple et la plus fiable consiste à convertir chaque chaîne binaire en entier décimal, à effectuer une soustraction classique, puis à reconvertir la différence en binaire :
$$\text{résultat} = \text{enBinaire}\left( \text{versDécimal}(a) - \text{versDécimal}(b) \right)$$
Par exemple, le nombre binaire 1010 vaut \(1 \cdot 8 + 0 \cdot 4 + 1 \cdot 2 + 0 \cdot 1 = 10\) en décimal. On évite ainsi le calcul manuel des retenues tout en obtenant un résultat identique.
Exemple détaillé
Soustrayons 11 de 1010. Convertissons d'abord : \(1010_2 = 10_{10}\) et \(11_2 = 3_{10}\). On effectue ensuite $$10 - 3 = 7.$$ En reconvertissant 7 en binaire, on obtient \(111_2\). Ainsi, \(1010 - 11 = \) 111.
Comment soustraire en binaire à la main (méthode des emprunts)
La soustraction binaire directe fonctionne exactement comme la soustraction décimale, mais en base 2, chaque colonne ne contient que 0 ou 1. L'idée clé est l'emprunt : quand vous devez soustraire 1 de 0, vous empruntez à la colonne suivante à gauche, transformant la colonne actuelle en \(10_2\) (qui vaut 2 en décimal), de sorte que \(10_2 - 1_2 = 1_2\).
- Alignez les nombres à droite. Écrivez la plus grande valeur (le minuende) en haut et la plus petite valeur (le soustrahende) au-dessous, en alignant les bits les moins significatifs. Complétez le nombre le plus court avec des zéros à gauche afin que les deux aient la même largeur.
- Travaillez de droite à gauche, une colonne à la fois. Dans chaque colonne, calculez le bit du haut moins le bit du bas.
- Appliquez les règles de colonne : \(0-0=0\), \(1-0=1\), \(1-1=0\), et \(0-1\) nécessite un emprunt.
- La règle d'emprunt : pour \(0-1\), empruntez 1 à la colonne suivante à gauche. La colonne actuelle devient \(10_2 - 1 = 1\), et vous réduisez la colonne empruntée de 1 (si cette colonne est elle-même 0, vous devez emprunter à nouveau, en chaînant vers la gauche).
- Lisez le résultat à partir de la rangée du bas, en supprimant les zéros à gauche.
Exemple travaillé : \(1010_2 - 0011_2\). Les deux sont complétés à quatre bits. Vérification décimale : \(10 - 3\).
- Colonne 0 (extrême droite) : haut 0, bas 1 → \(0-1\) nécessite un emprunt. Empruntez à la colonne 1, ce qui donne \(10_2 - 1 = 1\). Bit de résultat = 1. Le bit du haut de la colonne 1 passe de 1 à 0.
- Colonne 1 : après emprunt, le haut est 0, le bas est 1 → \(0-1\) nécessite un emprunt. Empruntez à la colonne 2, ce qui donne \(10_2 - 1 = 1\). Bit de résultat = 1. Le bit du haut de la colonne 2 passe de 0... il est 0, donc l'emprunt se chaîne à la colonne 3, ce qui fait que la colonne 2 lit \(10_2\) puis prête 1 pour laisser 1.
- Colonne 2 : après l'emprunt chaîné, elle contient 1, le bas est 0 → \(1-0=0\). Bit de résultat = 0.
- Colonne 3 : le haut était 1, mais il a prêté 1 à la colonne 2, ce qui laisse 0 ; le bas est 0 → \(0-0=0\). Bit de résultat = 0.
En lisant de bas en haut par colonne, on obtient \(0111_2\), c.-à-d. 111\(_2\), qui égale \(7\) en décimal — correspondant à \(10 - 3 = 7\).
Plus d'exemples travaillés
Chaque exemple montre la soustraction binaire et son équivalent décimal afin que vous puissiez vérifier l'arithmétique.
| Soustraction binaire | Vérification décimale | Résultat (binaire) | Résultat (décimal) |
|---|---|---|---|
| \(1101_2 - 101_2\) | \(13 - 5\) | 1000\(_2\) | 8 |
| \(11_2 - 1010_2\) | \(3 - 10\) | \(-111_2\) | \(-7\) |
| \(110_2 - 110_2\) | \(6 - 6\) | \(0_2\) | 0 |
Exemple 1 — \(1101_2 - 101_2\). Complétez le soustrahende à \(0101_2\). Colonne par colonne de droite à gauche : \(1-1=0\) ; \(0-0=0\) ; \(1-1=0\) ; \(1-0=1\). Cela donne \(1000_2 = 8\), confirmant \(13 - 5 = 8\).
Exemple 2 — \(11_2 - 1010_2\) (résultat négatif). Ici, le soustrahende (\(10\)) est plus grand que le minuende (\(3\)), donc la réponse est négative. Échangez et soustrayez le plus petit du plus grand : \(1010_2 - 0011_2 = 0111_2 = 7\), puis rétablissez le signe pour obtenir \(-111_2 = -7\). Cela correspond à \(3 - 10 = -7\).
Exemple 3 — \(110_2 - 110_2\) (valeurs égales). Chaque colonne se soustrait à 0 sans emprunts : \(0-0\), \(1-1\), \(1-1\) donnent tous 0, donc la différence est \(0_2 = 0\).
Termes clés
- Minuende
- Le nombre duquel on soustrait — la valeur écrite en haut. Dans \(1010_2 - 11_2\), le minuende est \(1010_2\).
- Soustrahende
- Le nombre qu'on soustrait — la valeur écrite en bas. Dans \(1010_2 - 11_2\), le soustrahende est \(11_2\).
- Différence
- Le résultat de la soustraction : \(\text{minuende} - \text{soustrahende}\).
- Emprunt
- Quand une colonne nécessite \(0-1\), un 1 est pris de la colonne supérieure suivante pour que la colonne actuelle devienne \(10_2\) (valeur 2), ce qui permet \(10_2 - 1 = 1\). La colonne empruntée est réduite de 1, et l'emprunt peut se chaîner plus loin à gauche si cette colonne est aussi 0.
- Base-2 / Binaire
- Un système de numération positionnelle utilisant uniquement les chiffres 0 et 1, où chaque valeur de position est une puissance de deux (\(\dots, 8, 4, 2, 1\)).
- Bit (chiffre binaire)
- Un seul chiffre en base 2, soit 0 soit 1. Un groupe de bits représente un nombre plus grand ; par exemple, \(1010_2\) a quatre bits.
- Complément à deux
- Une façon courante pour les ordinateurs de représenter les entiers signés. Une valeur négative est formée en inversant tous les bits de sa magnitude et en ajoutant 1, ce qui permet à la soustraction d'être effectuée comme addition du nombre nié dans une largeur de bit fixe.
- Grandeur et signe
- Une représentation signée alternative dans laquelle le bit le plus à gauche indique le signe (0 = positif, 1 = négatif) et les bits restants donnent la magnitude. Simple à lire mais il a deux encodages de zéro et est moins pratique pour l'arithmétique que le complément à deux.
Questions fréquentes
Le résultat peut-il être négatif ? Oui. Si le diminuteur est plus grand, la calculatrice renvoie une valeur binaire négative, par exemple -101.
Que se passe-t-il si je saisis un caractère invalide ? Seuls les chiffres 0 et 1 sont des chiffres binaires valides. Toute saisie non binaire est interprétée comme 0.
Est-ce la même chose que la soustraction en complément à deux ? La valeur décimale est identique, mais cet outil affiche un résultat en signe-magnitude (avec un signe moins) plutôt qu'une représentation en complément à deux à largeur fixe.
