बाइनरी घटाव कैलकुलेटर क्या है?
यह टूल एक बाइनरी (बेस-2) संख्या को दूसरी से घटाता है और जवाब बाइनरी तथा दशमलव दोनों रूपों में दिखाता है। बाइनरी में सिर्फ 0 और 1 अंकों का इस्तेमाल होता है, जहां हर स्थान दो की एक घात (power of two) को दर्शाता है। हाथ से बाइनरी संख्याएं घटाने में कॉलम-दर-कॉलम उधार (borrow) लेना पड़ता है, जिसमें गलती होने की संभावना बहुत रहती है — यह कैलकुलेटर यह काम पलक झपकते कर देता है और परिणाम को दशमलव गणित से जांच कर पुष्टि भी करता है।
इसका इस्तेमाल कैसे करें
पहली बाइनरी संख्या (minuend, यानी जिससे घटाना है) और दूसरी बाइनरी संख्या (subtrahend, यानी जिसे घटाना है) दर्ज करें, केवल 0 और 1 का उपयोग करते हुए। गणना करें बटन दबाते ही बाइनरी अंतर के साथ-साथ हर इनपुट और परिणाम का दशमलव मान दिख जाएगा। यदि दूसरी संख्या बड़ी होगी, तो परिणाम ऋणात्मक बाइनरी मान (आगे माइनस चिन्ह के साथ) के रूप में दिखाया जाएगा।
फॉर्मूला समझें
सबसे सरल और भरोसेमंद तरीका यह है कि हर बाइनरी स्ट्रिंग को दशमलव पूर्णांक में बदलें, सामान्य घटाव करें, और फिर अंतर को वापस बाइनरी में बदल दें:
$$\text{result} = \text{toBinary}\left( \text{parseBinary}(a) - \text{parseBinary}(b) \right)$$
उदाहरण के लिए, बाइनरी संख्या 1010 का मान \(1 \cdot 8 + 0 \cdot 4 + 1 \cdot 2 + 0 \cdot 1 = 10\) दशमलव में 10 होता है। इस तरीके से हाथ से उधार लेने की झंझट से बचा जा सकता है और परिणाम बिल्कुल वही आता है।
हल किया गया उदाहरण
1010 में से 11 घटाइए। पहले बदलें: \(1010_2 = 10_{10}\) और \(11_2 = 3_{10}\)। फिर $$10 - 3 = 7$$ 7 को वापस बाइनरी में बदलने पर \(111_2\) मिलता है। यानी \(1010 - 11 = \) 111।
बाइनरी को हाथ से घटाएं (उधार विधि)
प्रत्यक्ष बाइनरी घटाव दशमलव घटाव की तरह ही काम करता है, लेकिन आधार 2 में प्रत्येक स्तंभ में केवल 0 या 1 हो सकता है। मुख्य विचार उधार है: जब आपको 0 से 1 घटाना होता है, तो आप बाईं ओर के अगले स्तंभ से उधार लेते हैं, जिससे वर्तमान स्तंभ \(10_2\) (जो दशमलव में 2 है) बन जाता है, इसलिए \(10_2 - 1_2 = 1_2\)।
- संख्याओं को दाईं ओर संरेखित करें। बड़ा मान (न्यूनीय) ऊपर लिखें और छोटा मान (घटाया जाने वाला) नीचे लिखें, कम महत्वपूर्ण बिट्स को पंक्तिबद्ध करते हुए। छोटी संख्या को अग्रणी शून्य से भरें ताकि दोनों की चौड़ाई समान हो।
- दाएं से बाएं काम करें, एक बार में एक स्तंभ। प्रत्येक स्तंभ में शीर्ष बिट घटा नीचे बिट की गणना करें।
- स्तंभ नियम लागू करें: \(0-0=0\), \(1-0=1\), \(1-1=0\), और \(0-1\) को उधार की आवश्यकता है।
- उधार नियम: \(0-1\) के लिए, बाईं ओर के अगले स्तंभ से 1 उधार लें। वर्तमान स्तंभ \(10_2 - 1 = 1\) बन जाता है, और आप उधार दिए गए स्तंभ को 1 से कम कर देते हैं (यदि वह स्तंभ स्वयं 0 है, तो आपको फिर से उधार लेना चाहिए, बाईं ओर श्रृंखला बनाते हुए)।
- परिणाम पढ़ें निचली पंक्ति से, किसी भी अग्रणी शून्य को छोड़ते हुए।
कार्यात्मक उदाहरण: \(1010_2 - 0011_2\)। दोनों को चार बिट में भरा गया है। दशमलव जांच: \(10 - 3\)।
- स्तंभ 0 (सबसे दाईं ओर): शीर्ष 0, नीचे 1 → \(0-1\) को उधार की आवश्यकता है। स्तंभ 1 से उधार लें, जिससे \(10_2 - 1 = 1\) मिले। परिणाम बिट = 1। स्तंभ 1 का शीर्ष बिट 1 से 0 तक गिर जाता है।
- स्तंभ 1: उधार देने के बाद, शीर्ष 0 है, नीचे 1 है → \(0-1\) को उधार की आवश्यकता है। स्तंभ 2 से उधार लें, जिससे \(10_2 - 1 = 1\) मिले। परिणाम बिट = 1। स्तंभ 2 का शीर्ष बिट 0 से गिरता है... यह 0 है, इसलिए उधार स्तंभ 3 तक श्रृंखलित होता है, स्तंभ 2 को \(10_2\) पढ़ने देता है और फिर 1 छोड़ने के लिए उधार देता है।
- स्तंभ 2: श्रृंखलित उधार के बाद यह 1 रखता है, नीचे 0 है → \(1-0=0\)। परिणाम बिट = 0।
- स्तंभ 3: शीर्ष 1 था, लेकिन इसने स्तंभ 2 को 1 उधार दिया, 0 छोड़ते हुए; नीचे 0 है → \(0-0=0\)। परिणाम बिट = 0।
निचले से ऊपर तक स्तंभ दर पढ़ने से \(0111_2\), यानी 111\(_2\), जो दशमलव में \(7\) के बराबर है — \(10 - 3 = 7\) से मेल खाता है।
अधिक कार्यात्मक उदाहरण
प्रत्येक उदाहरण बाइनरी घटाव और इसके दशमलव समकक्ष को दिखाता है ताकि आप अंकगणित को सत्यापित कर सकें।
| बाइनरी घटाव | दशमलव जांच | परिणाम (बाइनरी) | परिणाम (दशमलव) |
|---|---|---|---|
| \(1101_2 - 101_2\) | \(13 - 5\) | 1000\(_2\) | 8 |
| \(11_2 - 1010_2\) | \(3 - 10\) | \(-111_2\) | \(-7\) |
| \(110_2 - 110_2\) | \(6 - 6\) | \(0_2\) | 0 |
उदाहरण 1 — \(1101_2 - 101_2\)। घटाए जाने वाले को \(0101_2\) में भरें। दाईं ओर से स्तंभ दर: \(1-1=0\); \(0-0=0\); \(1-1=0\); \(1-0=1\)। यह \(1000_2 = 8\) देता है, जो \(13 - 5 = 8\) की पुष्टि करता है।
उदाहरण 2 — \(11_2 - 1010_2\) (नकारात्मक परिणाम)। यहाँ घटाया जाने वाला (\(10\)) न्यूनीय (\(3\)) से बड़ा है, इसलिए उत्तर नकारात्मक है। स्वैप करें और छोटे को बड़े से घटाएं: \(1010_2 - 0011_2 = 0111_2 = 7\), फिर \(-111_2 = -7\) प्राप्त करने के लिए चिन्ह को पुनर्स्थापित करें। यह \(3 - 10 = -7\) से मेल खाता है।
उदाहरण 3 — \(110_2 - 110_2\) (समान मान)। प्रत्येक स्तंभ बिना उधार के 0 तक घटता है: \(0-0\), \(1-1\), \(1-1\) सभी 0 देते हैं, इसलिए अंतर \(0_2 = 0\) है।
मुख्य शर्तें
- न्यूनीय
- वह संख्या जिससे घटाया जा रहा है — ऊपर लिखा गया मान। \(1010_2 - 11_2\) में, न्यूनीय \(1010_2\) है।
- घटाया जाने वाला
- वह संख्या जिसे घटाया जा रहा है — नीचे लिखा गया मान। \(1010_2 - 11_2\) में, घटाया जाने वाला \(11_2\) है।
- अंतर
- घटाव का परिणाम: \(\text{न्यूनीय} - \text{घटाया जाने वाला}\)।
- उधार
- जब एक स्तंभ को \(0-1\) की आवश्यकता होती है, तो अगले-उच्च स्तंभ से 1 लिया जाता है ताकि वर्तमान स्तंभ \(10_2\) (मान 2) बन जाए, जिससे \(10_2 - 1 = 1\) की अनुमति मिले। उधार दिया गया स्तंभ 1 से कम हो जाता है, और यदि वह स्तंभ भी 0 है तो उधार आगे बाईं ओर श्रृंखलित हो सकता है।
- आधार-2 / बाइनरी
- एक स्थितीय संख्या प्रणाली जो केवल अंक 0 और 1 का उपयोग करती है, जहाँ प्रत्येक स्थान मान दो की शक्ति है (\(\dots, 8, 4, 2, 1\))।
- बिट (बाइनरी अंक)
- एक एकल आधार-2 अंक, 0 या 1। बिट्स का एक समूह एक बड़ी संख्या का प्रतिनिधित्व करता है; उदाहरण के लिए \(1010_2\) के चार बिट हैं।
- दो का पूरक
- हस्ताक्षरित पूर्णांकों का प्रतिनिधित्व करने का एक सामान्य तरीका। एक नकारात्मक मान इसके परिमाण के सभी बिट्स को उलट कर और 1 जोड़कर बनाया जाता है, जो एक निश्चित बिट चौड़ाई के भीतर नकारात्मक संख्या के योग के रूप में घटाव करने देता है।
- चिन्ह-परिमाण
- एक वैकल्पिक हस्ताक्षरित प्रतिनिधित्व जिसमें सबसे बाईं ओर का बिट चिन्ह को इंगित करता है (0 = सकारात्मक, 1 = नकारात्मक) और शेष बिट्स परिमाण देते हैं। पढ़ने में सरल लेकिन इसमें शून्य की दो एनकोडिंग हैं और यह दो के पूरक से कम सुविधाजनक है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
क्या परिणाम ऋणात्मक हो सकता है? हां। अगर घटाई जाने वाली संख्या (subtrahend) बड़ी हो, तो कैलकुलेटर -101 जैसा ऋणात्मक बाइनरी मान देता है।
अगर मैं कोई गलत अक्षर दर्ज कर दूं तो? बाइनरी में केवल 0 और 1 अंक ही मान्य हैं। किसी भी गैर-बाइनरी इनपुट को 0 मान लिया जाता है।
क्या यह टू'स कॉम्प्लीमेंट (two's complement) घटाव जैसा ही है? दशमलव मान तो वही रहता है, लेकिन यह टूल साइन-मैग्निट्यूड परिणाम (एक माइनस चिन्ह के साथ) दिखाता है, न कि निश्चित-चौड़ाई वाला टू'स कॉम्प्लीमेंट निरूपण।
