Что такое теорема о биссектрисе угла?
Теорема о биссектрисе угла — одна из классических теорем евклидовой геометрии, знакомая каждому ещё со школы. В треугольнике ABC биссектриса угла A пересекает противоположную сторону BC в точке D и делит её на два отрезка — BD и DC, длины которых пропорциональны сторонам, образующим разделённый угол. В виде формулы это записывается так: \(\frac{BD}{DC} = \frac{\text{AB}}{\text{AC}}\). Наш калькулятор вычисляет точную длину каждого отрезка, если известны три нужные стороны.
Как пользоваться калькулятором
Введите длину стороны AB (стороны, прилежащей к вершине B), стороны AC (прилежащей к вершине C) и полную длину делимой стороны BC. Калькулятор выдаст длину отрезка BD (от точки B до основания биссектрисы), отрезка DC (от точки D до C) и пропорцию AB:AC. В сумме BD и DC всегда дают сторону BC.
Разбор формулы
Поскольку биссектриса делит сторону BC в отношении прилежащих сторон, получаем
$$BD = \text{BC} \cdot \frac{\text{AB}}{\text{AB} + \text{AC}} \qquad DC = \text{BC} \cdot \frac{\text{AC}}{\text{AB} + \text{AC}}$$Обе формулы выводятся напрямую из пропорции \(\frac{BD}{DC} = \frac{\text{AB}}{\text{AC}}\) вместе с равенством \(BD + DC = BC\). Обратите внимание: сама длина биссектрисы не нужна — отношение задают только две прилежащие стороны.
Пример с решением
Пусть \(AB = 8\), \(AC = 4\), а \(BC = 9\). Сумма \(AB + AC = 12\). Тогда
$$BD = \frac{9 \times 8}{12} = 6 \qquad DC = \frac{9 \times 4}{12} = 3$$Проверим: \(6 + 3 = 9 = BC\), а отношение \(6:3 = 2:1\) совпадает с \(AB:AC = 8:4 = 2:1\). Биссектриса делит сторону так, что бóльший отрезок прилегает к более длинной стороне.
Частые вопросы
Работает ли это для внешней биссектрисы? Нет — калькулятор рассчитан на внутреннюю биссектрису, которая даёт внутреннее деление стороны BC. Внешняя биссектриса делит BC внешним образом.
Что если AB равно AC? Тогда треугольник равнобедренный с вершиной A, и биссектриса попадает точно в середину BC, то есть \(BD = DC\).
Нужно ли знать сам угол? Нет. Теорема зависит только от длин сторон, а не от величины угла.
Разделение сегментов по различным треугольникам
Теорема о биссектрисе угла делит противоположную сторону \(BC\) на две части, \(BD\) и \(DC\), длины которых следуют отношению двух прилежащих сторон \(AB:AC\). Когда две прилежащие стороны равны, биссектриса попадает ровно в середину; чем более несимметричны стороны, тем больше точка \(D\) смещается в сторону более короткой стороны. В таблице ниже рассмотрены три представительных случая.
| Случай | AB | AC | BC | BD | DC | AB : AC |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Сбалансированный (равнобедренный) | 6 | 6 | 10 | 5 | 5 | 1 : 1 |
| Умеренный | 8 | 4 | 9 | 6 | 3 | 2 : 1 |
| Асимметричный | 10 | 2 | 6 | 5 | 1 | 5 : 1 |
Проверенный расчёт для умеренного случая: с \(AB = 8\), \(AC = 4\), \(BC = 9\),
$$BD = BC \cdot \frac{AB}{AB + AC} = 9 \cdot \frac{8}{8 + 4} = 9 \cdot \frac{8}{12} = 6,$$ $$DC = BC \cdot \frac{AC}{AB + AC} = 9 \cdot \frac{4}{12} = 3.$$Два сегмента складываются обратно в \(BD + DC = 6 + 3 = 9 = BC\), и отношение \(BD:DC = 6:3 = 2:1\) совпадает с \(AB:AC = 8:4 = 2:1\), что подтверждает теорему.
Ключевые термины и переменные
- Треугольник ABC — треугольник, три вершины которого обозначены \(A\), \(B\) и \(C\). Биссектриса в этом инструменте проводится из вершины \(A\) к противоположной стороне \(BC\).
- Вершина A — угол, из которого проводится биссектриса угла. Внутренний угол в \(A\) (угол \(\angle BAC\)) — это угол, который делится на две равные половины.
- Биссектриса угла — линия или отрезок, который делит угол на два равных угла. Биссектриса из \(A\) делит \(\angle BAC\) на два угла одинаковой величины.
- Точка D (основание биссектрисы) — точка, где биссектриса из \(A\) встречает противоположную сторону \(BC\). Для внутренней биссектрисы она лежит между \(B\) и \(C\).
- Отрезок BD — часть стороны \(BC\) от вершины \(B\) до основания \(D\). Он пропорционален прилежащей стороне \(AB\).
- Отрезок DC — часть стороны \(BC\) от основания \(D\) к вершине \(C\). Он пропорционален прилежащей стороне \(AC\). Вместе \(BD + DC = BC\).
- Отношение AB : AC — отношение двух сторон, прилежащих к вершине \(A\). Теорема о биссектрисе угла гласит, что \(\dfrac{BD}{DC} = \dfrac{AB}{AC}\), поэтому это отношение непосредственно определяет, как делится \(BC\).
- Внутренняя и внешняя биссектриса — внутренняя биссектриса делит внутренний угол и встречает \(BC\) между \(B\) и \(C\) (рассмотренный здесь случай). Внешняя биссектриса делит дополнительный внешний угол и встречает линию \(BC\) вне отрезка, деля его внешним образом в том же отношении \(AB:AC\).
