Что такое конвертер систем счисления?
Конвертер систем счисления меняет способ записи числа, не меняя само его значение. Программисты и компьютеры постоянно работают с двоичной (основание 2), восьмеричной (основание 8), десятичной (основание 10) и шестнадцатеричной (основание 16) системами, но этот инструмент поддерживает любое основание от 2 до 36 — используются цифры 0–9, а затем буквы A–Z.
Как пользоваться
Введите число, которое нужно перевести, укажите систему счисления, в которой оно записано сейчас (Из основания), и систему, в которую вы хотите его перевести (В основание). Для оснований больше 10 применяются буквы: A=10, B=11 и так далее вплоть до Z=35. Калькулятор также показывает обычное десятичное значение (основание 10), чтобы вы могли проверить расчёт.
Как работает формула
Перевод выполняется в два этапа. Сначала исходное число переводится в десятичное по позиционной записи: каждая цифра умножается на основание исходной системы в степени, равной её позиции, а полученные произведения складываются. Затем десятичное значение переводится в нужную систему методом последовательного деления — делим на основание целевой системы, записываем остаток, повторяем с частным, а затем читаем остатки в обратном порядке.
$$\text{Result} = \left( \sum_{i=0}^{k-1} d_i \cdot \text{From Base}^{\,i} \right)_{10} \longrightarrow \text{To Base}$$$$\begin{gathered} V_{10} = \sum_{i=0}^{k-1} d_i \cdot \text{From Base}^{\,i} \\[1.5em] \text{Result} = \left( V_{10} \right)_{\text{To Base}} \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} d_i &= \text{digit } i \text{ of } \text{Number} \\ k &= \text{number of digits} \end{aligned} \right. \end{gathered}$$
Разбор примера
Переведём двоичное число 1010 в десятичное. Позиционная сумма: $$1\cdot2^3 + 0\cdot2^2 + 1\cdot2^1 + 0\cdot2^0 = 8 + 0 + 2 + 0 = 10.$$ В обратную сторону: переведём десятичное 255 в шестнадцатеричное. \(255 \div 16 = 15\), остаток 15 (F); \(15 \div 16 = 0\), остаток 15 (F). В итоге получаем FF.
Частые вопросы
Какое максимальное основание? 36, потому что стандартный набор символов 0–9 плюс A–Z даёт ровно 36 знаков.
Работает ли он с отрицательными числами? Да — знак «минус» в начале сохраняется в результате.
Можно ли переводить дроби или числа с запятой? Эта версия работает только с целыми числами.
Распространённые системы счисления и их наборы цифр
Система счисления (или основание) определяет, сколько различных символов цифр доступно и какой вес имеет каждая позиция. В таблице ниже приведены наиболее широко используемые основания, поддерживаемые преобразователем, а также символы, которые они используют, и где каждое обычно применяется.
| Основание | Название | Набор цифр | Типичный случай использования |
|---|---|---|---|
| 2 | Двоичная | 0–1 | Естественное представление в цифровой электронике и памяти компьютера; каждый бит либо включён, либо отключён. |
| 8 | Восьмеричная | 0–7 | Компактная группировка двоичного кода по три; режимы разрешений файлов Unix/Linux (например, 755). |
| 10 | Десятичная | 0–9 | Повседневная арифметика людей, валюта, измерения и общий подсчёт. |
| 16 | Шестнадцатеричная | 0–9, A–F | Компактное отображение байтов, адресов памяти, кодов цветов (например, #FF8800) и машинного кода. |
| 36 | Основание 36 | 0–9, A–Z | Максимальное основание, использующее цифры и латинский алфавит; короткие буквенно-цифровые идентификаторы и URL-слаги. |
Таблица преобразования десятичных–двоичных–восьмеричных–шестнадцатеричных чисел
Нижеприведённая справка показывает распространённые десятичные значения наряду с их двоичными (основание 2), восьмеричными (основание 8) и шестнадцатеричными (основание 16) эквивалентами. Нижние строки включают «круглые» степени двойки, которые обозначают распространённые границы байтов и слов.
| Десятичное | Двоичное | Восьмеричное | Шестнадцатеричное |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 3 | 3 |
| 4 | 100 | 4 | 4 |
| 5 | 101 | 5 | 5 |
| 6 | 110 | 6 | 6 |
| 7 | 111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | A |
| 11 | 1011 | 13 | B |
| 12 | 1100 | 14 | C |
| 13 | 1101 | 15 | D |
| 14 | 1110 | 16 | E |
| 15 | 1111 | 17 | F |
| 16 | 10000 | 20 | 10 |
| 32 | 100000 | 40 | 20 |
| 64 | 1000000 | 100 | 40 |
| 128 | 10000000 | 200 | 80 |
| 255 | 11111111 | 377 | FF |
Заметьте, как 255 (наибольшее значение одного байта) представляет собой ровно восемь двоичных единиц и две шестнадцатеричные буквы F — каждая шестнадцатеричная цифра соответствует ровно четырём битам.
Ключевые термины с объяснениями
- Основание / Радикс
- Количество уникальных символов цифр, которые использует система счисления. Основание 10 (десятичная) использует десять символов (0–9); основание 2 (двоичная) использует два (0–1). «Радикс» — это формальный математический синоним для основания.
- Позиционная запись
- Система, в которой значение цифры зависит от её позиции. Каждая позиция имеет вес, равный основанию, возведённому в степень: в основании \(b\) цифра в позиции \(i\) (отсчитываемой с 0 справа) вносит вклад \(d_i \cdot b^{\,i}\).
- Цифра
- Отдельный символ внутри числа. Допустимые цифры ограничены основанием — основание 16 позволяет 0–9 и A–F, где A–F представляют десятичные значения 10–15.
- Старший значащий разряд (СЗР)
- Самая левая цифра, имеющая наибольший позиционный вес и поэтому оказывающая наибольшее влияние на значение числа.
- Младший значащий разряд (МЗР)
- Самая правая цифра с позиционным весом \(b^{0}=1\); изменение её изменяет значение на наименьшую величину.
- Двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная
- Системы счисления с основанием 2, 8 и 16 соответственно. Они являются предпочтительными в вычислительной технике, потому что их основания являются степенями двойки, поэтому группы битов преобразуются чистым образом: 3 бита на восьмеричную цифру, 4 бита на шестнадцатеричную цифру.
- Частное и остаток
- Два результата целочисленного деления, используемые для преобразования из десятичной в другое основание: многократно делите на целевое основание, записывая каждый остаток как цифру (сначала наименьший значащий разряд) до тех пор, пока частное не достигнет 0.
