Bu Kombinasyon Hesaplama Aracı (nCr), birbirinden farklı nesnelerden oluşan bir kümeden belirli bir örneklem büyüklüğünü seçmenin kaç farklı yolu olduğunu hesaplamanıza yardımcı olur. Burada sıralama önemli değildir ve tekrarlara izin verilmez. Olasılık, istatistik ve daha pek çok alanda karşılaşılan kombinasyon ve permütasyon problemlerini çözmek için birebirdir.

Kombinasyon Nedir?

Kombinatorikte kombinasyon, daha büyük bir kümeden eleman seçme yöntemidir ve burada sıralamanın bir önemi yoktur. Bu durum, sıralamanın önemli olduğu permütasyonlardan ayrılır.

Standart kombinasyon formülü şöyledir:

$$C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!\,(n - r)!}$$

Burada:

$n$ = kümedeki toplam eleman sayısı
$r$ = örneklem büyüklüğü ya da seçilen eleman sayısı
$!$ = faktöriyel

Bu hesaplama aracı tekrarsız kombinasyonları hesaplar — yani her nesne tek bir kombinasyonda yalnızca bir kez seçilir.

Reklam

Bu Aracı Ne Zaman Kullanmalısınız?

Daha büyük bir gruptan kazananları belirlerken
Sıralamanın önemli olmadığı durumlarda bir desteden kart seçerken
Kombinasyon ve permütasyonla ilgili istatistik problemlerini çözerken
Yalnızca kombinasyon gerektiğinde, toplam permütasyon sayısını ayırt etmek için

Nasıl Çalışır?

Eleman sayısını (n) girin: Nesne kümesindeki toplam adedi yazın.
Örneklem büyüklüğünü (r) girin: Kaç eleman seçmek istediğinizi belirleyin.
Hesapla'ya tıklayın: Araç, kombinasyon formülünü kullanarak sonucu hesaplar.
Sonucu görün: Sıralamanın önemli olmadığı durumda, n elemandan r elemanı kaç farklı şekilde seçebileceğinizi anında öğrenirsiniz.

Örnek Hesaplama

Diyelim ki 10 elemanlık bir kümeden 3 eleman seçmek istiyorsunuz:

$$n = 10, \quad r = 3$$ $$10C3 = \frac{10!}{3!\,(10-3)!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$$

Yani 10 elemanlık bir kümeden 3 eleman seçmenin 120 farklı kombinasyonu vardır.

Reklam

Sıkça Sorulan Sorular

1. Kombinasyon ile permütasyon arasındaki fark nedir?

Kombinasyon, sıralamanın önemli olmadığı durumlarda kullanılır; permütasyon ise sıralamanın önemli olduğu durumlarda geçerlidir. Örneğin bir takıma üye seçmek kombinasyondur, ancak görevleri dağıtmak permütasyondur.

2. Tekrarlı kombinasyon hesaplayabilir miyim?

Bu araç tekrarsız kombinasyonlar için tasarlanmıştır. Tekrarlara izin veriliyorsa farklı bir formül kullanılması gerekir: n+r-1Cr.

3. Örneklem büyüklüğü toplam eleman sayısını aşarsa ne olur?

Kümede bulunandan daha fazla eleman seçemezsiniz. Eğer r > n ise, kombinasyon matematiksel olarak tanımsızdır.

Sıranın önemli olmadığı 4 öğelik kümeden 2 öğe seçimini gösteren diyagram — Kombinasyonlar sıranın önemli olmadığı seçimleri sayar—4 öğeden 2'sini seçmek.

nCr formülünün faktöriyellerin kesri olarak görsel açılımı — nCr formülü n!'i r! çarpı (n−r)!'e böler.

Yaygın Değerler için nCr Referans Tablosu

Aşağıdaki tablo, $C(n, r)$ değerlerini küçük $n$ değerleri (1'den 10'a) için ve her geçerli $r$ seçeneği (0'dan $n$'ye kadar) için verir. Bu ünlü Pascal üçgenidir: her iç değer, onun üzerinde çapraz olarak bulunan iki değerin toplamına eşittir ve her satır simetriktir çünkü $C(n, r) = C(n, n-r)$. Satırınız $n$ ile sütununuz $r$'nin kesiştiği değeri okuyun.

n \ r	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	1	1
2	1	2	1
3	1	3	3	1
4	1	4	6	4	1
5	1	5	10	10	5	1
6	1	6	15	20	15	6	1
7	1	7	21	35	35	21	7	1
8	1	8	28	56	70	56	28	8	1
9	1	9	36	84	126	126	84	36	9	1
10	1	10	45	120	210	252	210	120	45	10	1

$C(n, 0) = C(n, n) = 1$ olduğunu (hiçbir şey seçmenin tam olarak bir yolu vardır ve her şeyi seçmenin bir yolu vardır) ve $C(n, 1) = n$ olduğunu (tek bir öğe seçmenin $n$ yolu vardır) unutmayın.

Daha Fazla Çözümlü Örnek

Her örnek, kombinasyon formülünde $C(n, r) = \dfrac{n!}{r!\,(n-r)!}$ değerleri doğrudan yerine koyar; burada sıra önemli değildir.

Poker ellileri — 52'den 5'ini seç. Standart bir destede 52 kart vardır ve bir poker eli sırası önemsiz olacak şekilde çekilen 5 karttır:
$$C(52, 5) = \frac{52!}{5!\,(52-5)!} = \frac{52 \times 51 \times 50 \times 49 \times 48}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{311{,}875{,}200}{120}$$
bu da 2,598,960 farklı beş kartlı el verir.
Hepsini seçmek — 6'dan 6'sını seç. Her öğeyi seçmeniz gerektiğinde, yalnızca bir olası grup vardır:
$$C(6, 6) = \frac{6!}{6!\,(6-6)!} = \frac{6!}{6! \times 0!} = \frac{720}{720 \times 1} = 1$$
Bu, $0! = 1$ kuralını kullanır. Dolayısıyla $C(6, 6) = $ 1.
Hiçbirini seçmemek — 8'den 0'ını seç. Bir kümeden hiçbir şey seçmenin tam olarak bir yolu vardır (boş seçim):
$$C(8, 0) = \frac{8!}{0!\,(8-0)!} = \frac{8!}{1 \times 8!} = 1$$
Dolayısıyla $C(8, 0) = $ 1.
Bir komite — 10'dan 3'ünü seç. 10 adaydan 3 kişilik bir komite seçmek (pozisyonlar ayırt edilmemiş):
$$C(10, 3) = \frac{10!}{3!\,(10-3)!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = \frac{720}{6}$$
120 olası komite verir. Eğer roller farklı olsaydı (başkan, sekreter, muhasebe müdürü), sıra önemli olurdu ve bunun yerine permütasyon 720 hesaplardınız.

Temel Terimler ve Tanımlar

Kombinasyon: Daha büyük bir kümeden öğelerin seçim sırasının önemli olmadığı bir seçimi. $n$'den $r$ öğenin kombinasyon sayısı $C(n, r)$, $\binom{n}{r}$ veya "n'den r'sini seç" olarak yazılır.
Permütasyon: Öğelerin sıralı bir düzenlemesi. Sıra önemli olduğu için, permütasyonlar her zaman kombinasyonlar kadar veya daha fazladır: $P(n, r) = C(n, r) \times r!$. Örneğin, \{A, B\} ve \{B, A\} bir kombinasyon ama iki permütasyon olarak sayılır.
n (küme boyutu): Seçim yapılacak farklı öğelerin toplam sayısı — tüm kümenin boyutu. Formülde bu $\binom{n}{r}$'nin üst sayısıdır.
r (örnek boyutu): Kümeden seçtiğiniz öğelerin sayısı. $0 \le r \le n$ koşulunu sağlamalıdır. Formülde bu $\binom{n}{r}$'nin alt sayısıdır.
Faktöriyel (!): Bir sayıya kadar olan tüm pozitif tam sayıların çarpımı: $n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 2 \times 1$. Tanım gereği $0! = 1$. Faktöriyellerle kombinasyon formülü içinde sıkça karşılaşılır. Örneğin, $5! = 120$.
"Sıra önemli değildir": Kombinasyonların tanımlayıcı özelliği: aynı öğeleri içeren iki seçim, seçildikleri dizi ne olursa olsun aynı olarak kabul edilir. Bu nedenle $C(n, r)$, sıralı sayıyı $P(n, r)$ ile $r!$ ile bölünerek yinelenen sıralamaları kaldırır.

Farklı Senaryolarda nCr

Aynı kombinasyon formülü, $C(n,r)=\dfrac{n!}{r!\,(n-r)!}$, pek çok günlük sayma problemini güçlendirir. Kombinasyonda sıra önemli olmadığından, nCr "kaç sıralı dizi oluşturulabilir" yerine "kaç farklı grup oluşturulabilir" sorusuna cevap verir. Aşağıdaki tablo, her biri bu hesaplayıcı ile hesaplanan birçok gerçekçi durumu ele alır.

Senaryo	n (toplam)	r (seçilen)	nCr	Gerçek dünya bağlamı
Küçük eşleştirme	5	2	10	5 kişiden 2 takım arkadaşı seçmenin veya 5 seçenekten 2 topping seçmenin yol sayısı.
Komite seçimi	10	3	120	10 kişilik bir gruptan çekilebilecek farklı 3 üyeli alt komiteler.
6/49 piyangosu	49	6	13.983.816	49 sayıdan 6 sayının çekilmesinin toplam olası sonucu — bir bilette hepsini tutturma olasılığı bu sayının 1'ine karşı 1'dir.
Poker elleri	52	5	2.598.960	Standart 52 kartlık desteden dağıtılan farklı 5 kartlık ellerin sayısı (sıra göz ardı edilir).
Pizza malzemeleri	8	3	56	8 seçenekten 3 malzeme seçmenin yol sayısı; burada seçim sırası önemli değildir.

Poker durumu için yapılan kontrol: $C(52,5)=\dfrac{52!}{5!\,(52-5)!}=\dfrac{52\cdot51\cdot50\cdot49\cdot48}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}=\dfrac{311{,}875{,}200}{120}=2{,}598{,}960.$ Sıra önemli olsaydı, bunun yerine permütasyonları, $P(n,r)=\dfrac{n!}{(n-r)!}$, kullanırdınız; bu da çok daha büyük bir sayı verirdi.

Kombinasyon Hesaplama Aracı

Hesaplamaya Girin

Formül

Sonuç