Qu'est-ce que le calculateur d'arc ?
Le calculateur d'arc détermine la géométrie d'un arc circulaire (segmentaire) à partir de deux mesures simples : la portée (la corde horizontale qui traverse l'ouverture) et la flèche (la hauteur verticale entre la corde et le sommet de la courbe). À partir de ces valeurs, il calcule le rayon du cercle dont l'arc fait partie, le diamètre, la longueur de la ligne courbe et l'angle que l'arc sous-tend au centre du cercle. C'est un outil de géométrie universel, utile aux maçons, charpentiers, ébénistes, décorateurs de plateaux et à toute personne qui doit tracer une ouverture cintrée ou un gabarit.
Comment l'utiliser
Saisissez la portée et la flèche dans la même unité (centimètres, pouces, mètres — le résultat est exprimé dans cette même unité). Cliquez sur « Calculer ». L'encadré principal affiche le rayon ; le tableau indique la longueur d'arc, le diamètre et l'angle au centre en degrés. Pour tracer la courbe sur le chantier, fixez une ficelle de la longueur du rayon calculé au point central (qui se situe à flèche − rayon sous le sommet, c'est-à-dire que le centre peut se trouver sous la ligne de naissance) et balayez l'arc.
La formule expliquée
Pour une corde de longueur s (la portée) et une flèche h, le rayon du cercle contenant l'arc vaut :
$$R = \frac{s^{2}}{8 \cdot h} + \frac{h}{2}$$
La distance perpendiculaire entre le centre du cercle et la corde est \(d = R - h\). Le demi-angle sous-tendu par la corde est \(\theta/2 = \operatorname{atan2}(s/2,\, d)\), si bien que l'angle au centre complet est $$\theta = 2 \cdot \operatorname{atan2}\!\left(\frac{s}{2},\, R - h\right)$$ et la longueur de l'arc est $$L = R \cdot \theta$$ (θ exprimé en radians). L'usage d'atan2 garantit un résultat correct même lorsque l'arc dépasse le demi-cercle.
Exemple concret
Un demi-cercle parfait a une portée de 10 et une flèche de 5. On obtient alors $$R = \frac{100}{40} + 2{,}5 = 2{,}5 + 2{,}5 = 5.$$ Le centre repose sur la corde (\(d = R - h = 0\)), donc \(\theta = 2 \cdot \operatorname{atan2}(5, 0) = 2 \cdot 90° = 180°\). La longueur d'arc vaut \(R \cdot \theta = 5 \times \pi = 15{,}708\). Chaque moitié mesure 7,854.
Géométrie de l'arc pour les scénarios de portée/flèche courants
Pour un arc circulaire (segmentaire), la portée \(S\) (la corde horizontale à travers l'ouverture) et la flèche \(H\) (la hauteur entre la ligne de naissance et la clé) déterminent entièrement sa géométrie. Le rayon découle de \(R = \tfrac{S^2}{8H} + \tfrac{H}{2}\) ; à partir de là, l'angle au centre est \(\theta = 2\arctan\!\left(\tfrac{S/2}{\,R-H\,}\right)\) et la longueur de l'arc est \(L = R\theta\) (avec \(\theta\) en radians).
Le tableau ci-dessous maintient la portée fixe à 1000 mm et augmente la flèche, de sorte que vous pouvez voir comment un arc plus aplati exige un rayon beaucoup plus grand et un angle au centre plus petit, tandis qu'un arc plus profond s'approche puis dépasse un demi-cercle.
| Type d'arc | Portée S (mm) | Flèche H (mm) | Rayon R (mm) | Diamètre (mm) | Angle au centre θ | Longueur de l'arc L (mm) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Segmentaire peu profond | 1000 | 150 | 908,3 | 1816,7 | 67,4° | 1068,6 |
| Segmentaire plus aplati | 1000 | 250 | 625,0 | 1250,0 | 106,3° | 1159,3 |
| Semicirculaire | 1000 | 500 | 500,0 | 1000,0 | 180,0° | 1570,8 |
| Fer à cheval | 1000 | 600 | 508,3 | 1016,7 | 241,9° | 2146,4 |
Notez qu'à \(H = S/2\) l'arc est exactement semicirculaire (\(R = S/2\), \(\theta = 180^\circ\)). Lorsque la flèche dépasse la moitié de la portée, la courbe passe par le point le plus large du cercle, produisant la forme incurvée vers l'intérieur du fer à cheval avec un angle au centre supérieur à \(180^\circ\).
Termes et variables clés
- Portée (S)
- La distance horizontale libre à travers l'ouverture de l'arc, mesurée entre les deux points de naissance. En géométrie circulaire, c'est la corde de l'arc.
- Flèche (H)
- La hauteur verticale entre la ligne de naissance jusqu'au point le plus élevé de l'arc (la clé). Le ratio \(H/S\) décrit comment l'arc est peu profond ou profond.
- Rayon (R)
- Le rayon du cercle dont l'arc est une partie, donné par \(R = S^2/(8H) + H/2\). L'arc est dessiné en balayant ce rayon à partir du point central.
- Diamètre
- Deux fois le rayon, \(d = 2R\) — la largeur complète du cercle sous-jacent.
- Corde
- Une ligne droite reliant deux points sur le cercle. Pour un arc segmentaire, la portée est la corde sous-tendue par l'arc.
- Longueur de l'arc (L)
- La longueur mesurée le long de l'intrados courbe (ou de tout arc concentrique), égale à \(L = R\theta\) avec l'angle au centre \(\theta\) en radians.
- Angle au centre (θ)
- L'angle sous-tendu au centre du cercle par l'arc, \(\theta = 2\arctan\!\big(\tfrac{S/2}{R-H}\big)\). Il est de 180° pour un demi-cercle et supérieur à 180° pour un arc en fer à cheval.
- Ligne de naissance
- Le niveau horizontal auquel l'arc commence à s'incurver en s'éloignant de ses supports verticaux ; la portée est mesurée le long de cette ligne.
- Apex / Clé
- Le point le plus élevé de l'arc, où la flèche est mesurée. La clé se trouve directement au-dessus du milieu de la portée.
- Arc segmentaire
- Un arc dont la courbe est un segment circulaire inférieur à un demi-cercle (\(H < S/2\)), donnant un profil plus aplati et un rayon supérieur à la moitié de la portée.
- Arc semicirculaire
- Un arc qui est exactement la moitié d'un cercle, apparaissant lorsque la flèche est égale à la moitié de la portée (\(H = S/2\)), donc \(R = S/2\) et \(\theta = 180^\circ\).
- Arc en fer à cheval
- Un arc qui continue au-delà du point le plus large du cercle (\(H > S/2\)), se recourbant vers l'intérieur aux naissances de sorte que l'ouverture est plus étroite que le diamètre du cercle ; son angle au centre dépasse 180°.
FAQ
Que se passe-t-il si la flèche est égale à la moitié de la portée ? L'arc est un véritable demi-cercle ; le rayon est égal à la flèche et l'angle vaut 180°.
La flèche peut-elle dépasser la moitié de la portée ? Oui — l'arc devient alors plus qu'un demi-cercle (un arc « en fer à cheval ») et le centre se situe au-dessus de la corde ; atan2 renvoie toujours l'angle correct.
Quelles unités dois-je utiliser ? N'importe lesquelles, du moment que la portée et la flèche partagent la même unité ; tous les résultats sont exprimés dans cette unité.
