कोण समद्विभाजक प्रमेय क्या है?
कोण समद्विभाजक प्रमेय यूक्लिडीय ज्यामिति का एक बहुत प्रसिद्ध नियम है। किसी त्रिभुज ABC में जब कोण A का समद्विभाजक सामने वाली भुजा BC को बिंदु D पर काटता है, तो वह उस भुजा को दो खंडों BD और DC में बाँट देता है। इन खंडों की लंबाई उन्हीं दो भुजाओं के अनुपात में होती है जो विभाजित किए गए कोण को बनाती हैं। सूत्र रूप में, \(\frac{BD}{DC} = \frac{\text{AB}}{\text{AC}}\)। यह कैलकुलेटर तब हर खंड की सटीक लंबाई निकाल देता है जब आपको संबंधित तीनों भुजाओं की माप पता हो।
कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
भुजा AB (शीर्ष B से लगी भुजा), भुजा AC (शीर्ष C से लगी भुजा), और विभाजित होने वाली भुजा BC की पूरी लंबाई दर्ज करें। कैलकुलेटर खंड BD (B से समद्विभाजक के पाद तक), खंड DC (D से C तक) और अनुपात AB:AC लौटा देगा। BD और DC को जोड़ने पर हमेशा BC ही मिलेगा।
सूत्र को समझें
चूँकि समद्विभाजक BC को आसन्न भुजाओं के अनुपात में बाँटता है, इसलिए हम लेते हैं $$BD = \text{BC} \cdot \frac{\text{AB}}{\text{AB} + \text{AC}} \qquad DC = \text{BC} \cdot \frac{\text{AC}}{\text{AB} + \text{AC}}$$ ये दोनों व्यंजक सीधे अनुपात \(\frac{BD}{DC} = \frac{\text{AB}}{\text{AC}}\) और \(BD + DC = \text{BC}\) को मिलाकर निकाले जाते हैं। ध्यान दें कि समद्विभाजक की लंबाई की ज़रूरत नहीं पड़ती — अनुपात सिर्फ़ दोनों आसन्न भुजाएँ ही तय करती हैं।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए \(AB = 8\), \(AC = 4\), और \(BC = 9\)। तब \(AB + AC = 12\) होगा। अतः $$BD = \frac{9 \times 8}{12} = 6 \qquad DC = \frac{9 \times 4}{12} = 3$$ जाँच करें: \(6 + 3 = 9 = BC\), और अनुपात \(6:3 = 2:1\) जो \(AB:AC = 8:4 = 2:1\) से मेल खाता है। कोण समद्विभाजक भुजा को छोटी आसन्न भुजा की ओर अधिक पास से काटता है।
विभिन्न त्रिभुजों में खंड विभाजन
कोण द्विभाजक प्रमेय विपरीत भुजा \(BC\) को दो भागों, \(BD\) और \(DC\) में विभाजित करता है, जिनकी लंबाई दो आसन्न भुजाओं \(AB:AC\) के अनुपात का अनुसरण करती है। जब दोनों आसन्न भुजाएँ बराबर होती हैं, तो द्विभाजक बिल्कुल मध्य बिंदु पर पड़ता है; भुजाएँ जितनी अधिक असंतुलित होती हैं, पैर \(D\) उतना ही अधिक छोटी भुजा की ओर धकेला जाता है। नीचे दी गई तालिका तीन प्रतिनिधि मामलों के माध्यम से काम करती है।
| स्थिति | AB | AC | BC | BD | DC | AB : AC |
|---|---|---|---|---|---|---|
| संतुलित (समद्विबाहु) | 6 | 6 | 10 | 5 | 5 | 1 : 1 |
| मध्यम | 8 | 4 | 9 | 6 | 3 | 2 : 1 |
| विषम | 10 | 2 | 6 | 5 | 1 | 5 : 1 |
मध्यम स्थिति के लिए किया गया जांच: \(AB = 8\), \(AC = 4\), \(BC = 9\) के साथ,
$$BD = BC \cdot \frac{AB}{AB + AC} = 9 \cdot \frac{8}{8 + 4} = 9 \cdot \frac{8}{12} = 6,$$ $$DC = BC \cdot \frac{AC}{AB + AC} = 9 \cdot \frac{4}{12} = 3.$$दोनों खंड वापस \(BD + DC = 6 + 3 = 9 = BC\) जोड़ते हैं, और अनुपात \(BD:DC = 6:3 = 2:1\) \(AB:AC = 8:4 = 2:1\) से मेल खाता है, जो प्रमेय की पुष्टि करता है।
मुख्य शर्तें और चर
- त्रिभुज ABC — वह त्रिभुज जिसके तीन शीर्ष \(A\), \(B\) और \(C\) से चिन्हित हैं। इस उपकरण में द्विभाजक शीर्ष \(A\) से विपरीत भुजा \(BC\) तक खींचा जाता है।
- शीर्ष A — वह कोना जिससे कोण द्विभाजक खींचा जाता है। \(A\) पर आंतरिक कोण (कोण \(\angle BAC\)) वह कोण है जिसे दो समान आधों में विभाजित किया जा रहा है।
- कोण द्विभाजक — एक रेखा या खंड जो एक कोण को दो समान कोणों में विभाजित करता है। \(A\) से द्विभाजक \(\angle BAC\) को समान माप के दो कोणों में विभाजित करता है।
- बिंदु D (द्विभाजक का पैर) — वह बिंदु जहाँ \(A\) से द्विभाजक विपरीत भुजा \(BC\) से मिलता है। यह एक आंतरिक द्विभाजक के लिए \(B\) और \(C\) के बीच स्थित है।
- खंड BD — शीर्ष \(B\) से पैर \(D\) तक भुजा \(BC\) का अंश। यह आसन्न भुजा \(AB\) के समानुपाती है।
- खंड DC — पैर \(D\) से शीर्ष \(C\) तक भुजा \(BC\) का अंश। यह आसन्न भुजा \(AC\) के समानुपाती है। एक साथ \(BD + DC = BC\)।
- AB : AC अनुपात — शीर्ष \(A\) के आसन्न दोनों भुजाओं का अनुपात। कोण द्विभाजक प्रमेय कहता है कि \(\dfrac{BD}{DC} = \dfrac{AB}{AC}\), इसलिए यह अनुपात सीधे तौर पर नियंत्रित करता है कि \(BC\) को कैसे विभाजित किया जाता है।
- आंतरिक बनाम बाहरी द्विभाजक — आंतरिक द्विभाजक आंतरिक कोण को विभाजित करता है और \(BC\) को \(B\) और \(C\) के बीच मिलता है (यहाँ संभाली गई स्थिति)। बाहरी द्विभाजक अनुपूरक बाहरी कोण को विभाजित करता है और रेखा \(BC\) को खंड के बाहर मिलता है, इसे उसी अनुपात \(AB:AC\) में बाहरी रूप से विभाजित करता है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
क्या यह बाहरी समद्विभाजक के लिए काम करता है? नहीं — यह टूल आंतरिक कोण समद्विभाजक को संभालता है, जो BC का आंतरिक विभाजन करता है। बाहरी समद्विभाजक BC को बाहर की ओर बाँटता है।
अगर AB बराबर AC हो तो? तब त्रिभुज A पर समद्विबाहु होता है और समद्विभाजक BC के मध्यबिंदु पर पहुँचता है, जिससे \(BD = DC\) हो जाता है।
क्या मुझे कोण का मान चाहिए? नहीं। यह प्रमेय केवल भुजाओं की लंबाई पर निर्भर करता है, नापे गए कोण पर नहीं।
