Что такое треугольник 45-45-90?
Треугольник 45-45-90 — это особый прямоугольный треугольник, углы которого равны 45°, 45° и 90°. Поскольку два непрямых угла одинаковы, он является ещё и равнобедренным прямоугольным треугольником: оба катета (стороны, прилегающие к прямому углу) имеют одну и ту же длину. Гипотенуза — самая длинная сторона, лежащая напротив угла 90°. Этот калькулятор находит длину каждого катета, если вам уже известна гипотенуза.
Как пользоваться калькулятором
Введите длину гипотенузы в любых удобных единицах (сантиметры, дюймы, метры — результат вернётся в тех же единицах). Калькулятор мгновенно покажет длину каждого равного катета, а также площадь и периметр треугольника. Оба катета одинаковы, поэтому одно значение подходит сразу для обоих.
Разбор формулы
В треугольнике 45-45-90 стороны всегда находятся в соотношении 1 : 1 : √2. Если катет равен a, то гипотенуза равна a√2. Преобразовав это равенство, получаем катет напрямую через гипотенузу c:
$$\text{катет} = \dfrac{c}{\sqrt{2}}$$, что после избавления от иррациональности в знаменателе можно записать и как $$\text{катет} = \dfrac{c\sqrt{2}}{2}$$. Тогда площадь равна $$S = \dfrac{\text{катет}^2}{2}$$, а периметр — \(2\cdot\text{катет} + c\).
Пример расчёта
Допустим, гипотенуза равна 10. Тогда $$\text{катет} = \dfrac{10}{\sqrt{2}} \approx \dfrac{10}{1{,}41421} \approx 7{,}0711.$$ Площадь составит $$\dfrac{7{,}0711^2}{2} \approx \dfrac{50}{2} = 25,$$ а периметр — $$2 \times 7{,}0711 + 10 \approx 24{,}1421.$$
Частые вопросы
Действительно ли оба катета равны? Да. Поскольку оба острых угла равны 45°, противолежащие им стороны одинаковы, что и делает треугольник равнобедренным.
Почему делим на √2, а не умножаем? Гипотенуза — самая длинная сторона, и она равна катету, умноженному на √2. Поэтому, чтобы пройти обратный путь от гипотенузы к катету, нужно разделить на √2.
Важны ли единицы измерения? Нет. Катет получается в тех же единицах, в которых вы ввели гипотенузу, ведь расчёт — это чистое соотношение.
Длины катетов для общепринятых значений гипотенузы
В прямоугольном равнобедренном треугольнике 45-45-90 оба катета равны, и каждый находится из гипотенузы с помощью \(\text{катет} = \frac{c}{\sqrt{2}}\). Когда катет известен, площадь равна \(\frac{\text{катет}^2}{2}\), а периметр равен \(2\,\text{катет} + c\). В таблице ниже применены эти формулы к нескольким общепринятым значениям гипотенузы, результаты округлены до двух десятичных знаков.
| Гипотенуза \(c\) | Катет \(= c/\sqrt{2}\) | Площадь \(= \text{катет}^2/2\) | Периметр \(= 2\,\text{катет} + c\) |
|---|---|---|---|
| 1 | 0.71 | 0.25 | 2.41 |
| 2 | 1.41 | 1.00 | 4.83 |
| 5 | 3.54 | 6.25 | 12.07 |
| 10 | 7.07 | 25.00 | 24.14 |
| 14.14 | 10.00 | 50.00 | 34.14 |
| 20 | 14.14 | 100.00 | 48.28 |
| 100 | 70.71 | 2500.00 | 241.42 |
Обратите внимание, что когда гипотенуза составляет примерно 14.14 (что равно \(10\sqrt{2}\)), катеты точно равны 10, что иллюстрирует, как множитель \(\sqrt{2}\) связывает катет и гипотенузу. Каждый катет примерно составляет 70.7% гипотенузы, поэтому удвоение гипотенузы удваивает катет и увеличивает площадь в четыре раза.
