Что такое калькулятор арккосинуса (обратного косинуса)?
Арккосинус, который записывают как arccos(x) или cos⁻¹(x), отвечает на вопрос: «У какого угла косинус равен x?» Поскольку косинус принимает значения только от −1 до 1, аргумент x должен находиться именно в этом диапазоне. Калькулятор возвращает главное значение угла \(\theta\) сразу в радианах и градусах, причём \(\theta\) лежит в пределах \([0, \pi]\) радиан (то есть от 0° до 180°).
Как пользоваться калькулятором
Введите в поле число от −1 до 1, и калькулятор сразу рассчитает \(\theta = \arccos(x)\). Результат сначала показывается в градусах в выделенном блоке, а под ним приводится точное значение в радианах. Если ввести число за пределами \([-1, 1]\), оно округляется до ближайшего допустимого предела, ведь косинус не может выходить за эти границы.
Разбор формулы
Связь выражается формулой
$$\theta = \arccos(x)$$— это функция, обратная к \(x = \cos(\theta)\). Чтобы перевести ответ из радиан в градусы, умножьте его на \(\frac{180}{\pi}\). Например, \(\arccos(0) = \frac{\pi}{2}\) радиан \(= 90°\), потому что \(\cos(90°) = 0\).
Пример расчёта
Пусть \(x = 0{,}5\). Тогда
$$\theta = \arccos(0{,}5) = 1{,}047198 \text{ радиан}$$Переводим:
$$1{,}047198 \times \frac{180}{\pi} \approx 60°$$Это верно, ведь \(\cos(60°) = 0{,}5\).
Частые вопросы
Почему x должен быть в пределах от −1 до 1? Функция косинуса никогда не даёт значений за этими границами, поэтому обратная к ней функция определена только в этом диапазоне.
В каких пределах находится ответ? Главное значение arccos всегда лежит между 0 и \(\pi\) радиан (от 0° до 180°).
Чему равны arccos(1) и arccos(−1)? \(\arccos(1) = 0°\) (\(\cos 0° = 1\)), а \(\arccos(-1) = 180°\) (\(\cos 180° = -1\)).
Распространённые значения arccos
Функция обратного косинуса \(\theta = \arccos(x)\) принимает входные значения только в диапазоне \(-1 \le x \le 1\) и возвращает главный угол в диапазоне \([0, \pi]\) радиан, что соответствует \([0^\circ, 180^\circ]\). Таблица ниже содержит стандартные опорные значения, используемые во всей тригонометрии, с углом, представленным как в виде точной дроби \(\pi\), так и в градусах.
| x | Десятичное x | arccos(x) (радианы) | arccos(x) (градусы) |
|---|---|---|---|
| 1 | 1.000 | \(0\) | 0° |
| \(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\) | 0.866 | \(\tfrac{\pi}{6}\) | 30° |
| \(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\) | 0.707 | \(\tfrac{\pi}{4}\) | 45° |
| \(\tfrac{1}{2}\) | 0.500 | \(\tfrac{\pi}{3}\) | 60° |
| 0 | 0.000 | \(\tfrac{\pi}{2}\) | 90° |
| \(-\tfrac{1}{2}\) | -0.500 | \(\tfrac{2\pi}{3}\) | 120° |
| \(-\tfrac{\sqrt{2}}{2}\) | -0.707 | \(\tfrac{3\pi}{4}\) | 135° |
| \(-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\) | -0.866 | \(\tfrac{5\pi}{6}\) | 150° |
| -1 | -1.000 | \(\pi\) | 180° |
Заметьте симметрию: \(\arccos(-x) = \pi - \arccos(x)\). Например, \(\arccos(-\tfrac{1}{2}) = \pi - \tfrac{\pi}{3} = \tfrac{2\pi}{3}\), что подтверждает парность 60° и 120° в таблице.
