Kemer Hesaplama Aracı nedir?
Bu araç, dairesel (segmentli) bir kemerin geometrisini iki basit ölçüden yola çıkarak çözer: açıklık (boşluğu yatay olarak kesen kiriş) ve yükseklik (kirişten eğrinin tepesine kadar olan dikey mesafe). Bu iki değerden, kemerin bir parçası olduğu dairenin yarıçapını, çapını, eğrisel çizginin uzunluğunu ve yayın daire merkezinde gördüğü açıyı hesaplar. Duvar ustaları, marangozlar, ahşap işçileri, dekor üreticileri ve kavisli bir açıklık ya da şablon çıkarmak isteyen herkes için kullanışlı, evrensel bir geometri aracıdır.
Nasıl kullanılır?
Açıklık ve yüksekliği aynı birimde girin (santimetre, inç, metre — sonuç da aynı birimde döner). Hesapla düğmesine basın. Üst kutuda yarıçap görünür; tabloda ise yay uzunluğu, çap ve derece cinsinden iç açı yer alır. Eğriyi sahada işaretlemek için, hesaplanan yarıçap uzunluğunda bir ipi merkez noktasına sabitleyin (bu nokta tepeden yükseklik − yarıçap kadar aşağıda yer alır; yani merkez, başlangıç hattının altında bile olabilir) ve yayı çizin.
Formülün açıklaması
s uzunluğunda bir kiriş (açıklık) ve h yüksekliği için, kemeri içeren dairenin yarıçapı şöyledir:
$$R = \frac{s^{2}}{8 \cdot h} + \frac{h}{2}$$Dairenin merkezinden kirişe olan dik mesafe \(d = R - h\)'dir. Kirişin gördüğü yarım açı \(\theta/2 = \operatorname{atan2}(s/2,\, d)\) olduğundan, tam merkez açısı \(\theta = 2 \cdot \operatorname{atan2}(s/2,\, R-h)\) olur ve yay uzunluğu \(L = R \cdot \theta\)'dir (θ radyan cinsinden). atan2 kullanmak, yay bir yarım daireden büyük olsa bile sonucun doğru kalmasını sağlar.
Örnek hesaplama
Tam bir yarım dairenin açıklığı 10, yüksekliği 5'tir. Bu durumda \(R = 100/40 + 2{,}5 = 2{,}5 + 2{,}5 = 5\) olur. Merkez kirişin üzerinde bulunur (\(d = R - h = 0\)), dolayısıyla \(\theta = 2 \cdot \operatorname{atan2}(5,\, 0) = 2 \cdot 90° = 180°\). Yay uzunluğu \(= R \cdot \theta = 5 \times \pi = 15{,}708\). Her yarı 7,854 olur.
Yaygın Açıklık/Yükseklik Senaryoları Arasında Kemer Geometrisi
Dairesel (segmental) bir kemer için açıklık \(S\) (açıklığın üzerindeki yatay kord) ve yükseklik \(H\) (sırtlama hattından taçkaya kadar olan yükseklik) geometrisini tamamen belirler. Yarıçap şu formülden çıkar: \(R = \tfrac{S^2}{8H} + \tfrac{H}{2}\); oradan merkezi açı \(\theta = 2\arctan\!\left(\tfrac{S/2}{\,R-H\,}\right)\) ve yay uzunluğu \(L = R\theta\) (radyan cinsinden \(\theta\) ile).
Aşağıdaki tablo açıklığı 1000 mm sabit tutar ve yüksekliği artırır, böylece daha düz bir kemer çok daha büyük bir yarıçap ve daha küçük merkezi açı gerektirdiğini, derin bir kemerin ise yarım daireye yaklaştığını ve onu aştığını görebilirsiniz.
| Kemer tipi | Açıklık S (mm) | Yükseklik H (mm) | Yarıçap R (mm) | Çap (mm) | Merkezi açı θ | Yay uzunluğu L (mm) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Sığ segmental | 1000 | 150 | 908.3 | 1816.7 | 67.4° | 1068.6 |
| Daha düz segmental | 1000 | 250 | 625.0 | 1250.0 | 106.3° | 1159.3 |
| Yarım daire | 1000 | 500 | 500.0 | 1000.0 | 180.0° | 1570.8 |
| At nalı | 1000 | 600 | 508.3 | 1016.7 | 241.9° | 2146.4 |
Dikkat edin ki \(H = S/2\) olduğunda kemer tam olarak yarım dairededir (\(R = S/2\), \(\theta = 180^\circ\)). Yükseklik açıklığın yarısını aştığında eğri dairenin en geniş noktasından geçer ve merkezi açısı \(180^\circ\) den büyük olan içe doğru eğimli at nalı biçimini oluşturur.
Ana Terimler ve Değişkenler
- Açıklık (S)
- Kemerin açıklığının iki sırtlama noktası arasında ölçülen yatay net mesafesi. Daire geometrisinde yayı koruyan korddur.
- Yükseklik (H)
- Sırtlama hattından kemerin en yüksek noktasına (taçkaya) kadar olan dikey yükseklik. \(H/S\) oranı kemerin ne kadar sığ veya derin olduğunu gösterir.
- Yarıçap (R)
- Kemerin eğrisinin bir parçası olan dairenin yarıçapı, \(R = S^2/(8H) + H/2\) ile verilir. Yay, merkez noktasından bu yarıçap sallayarak çizilir.
- Çap
- Yarıçapın iki katı, \(d = 2R\) — alttaki dairenin tam genişliği.
- Kord
- Daire üzerindeki iki noktayı birleştiren düz bir çizgi. Segmental bir kemer için açıklık yayı koruyan korddur.
- Yay uzunluğu (L)
- Eğimli intrados (veya herhangi bir eş merkezli yay) boyunca ölçülen uzunluk, \(L = R\theta\) eşittir, merkezi açı \(\theta\) radyan cinsindendir.
- Merkezi açı (θ)
- Yay tarafından dairenin merkezinde oluşturulan açı, \(\theta = 2\arctan\!\big(\tfrac{S/2}{R-H}\big)\). Yarım daire için 180° dir ve at nalı kemerinde 180° den fazladır.
- Sırtlama hattı
- Kemerin dikey desteklerinden uzaklaşarak eğrilmeye başladığı yatay seviye; açıklık bu hat boyunca ölçülür.
- Zirve / Taç
- Kemerin en üst noktası, yükseklik buna kadar ölçülür. Taç doğrudan açıklığın orta noktasının üzerindedir.
- Segmental kemer
- Eğrisi yarım daireden daha küçük dairesel bir segment olan kemer (\(H < S/2\)), daha düz bir profil ve yarıçap yarıdan büyük olanı sağlar.
- Yarım daire kemeresi
- Tam olarak bir dairenin yarısı olan kemer, yükseklik açıklığın yarısına eşit olduğunda ortaya çıkar (\(H = S/2\)), öyle ki \(R = S/2\) ve \(\theta = 180^\circ\).
- At nalı kemeresi
- Dairenin en geniş noktasını aşan kemer (\(H > S/2\)), sırtlama hattında içe doğru eğilerek açıklık dairenin çapından dar olur; merkezi açısı 180° i aşar.
Sıkça Sorulan Sorular
Yükseklik, açıklığın yarısına eşitse ne olur? Kemer gerçek bir yarım daire olur; yarıçap yüksekliğe eşittir ve açı 180°'dir.
Yükseklik açıklığın yarısından büyük olabilir mi? Evet — bu durumda yay bir yarım daireden büyük olur (at nalı kemer) ve merkez kirişin üzerine çıkar; atan2 yine de doğru açıyı verir.
Hangi birimi kullanmalıyım? Açıklık ve yükseklik aynı birimde olduğu sürece herhangi birini kullanabilirsiniz; tüm sonuçlar o birimle verilir.
