什麼是乘法的面積模型？
面積模型（又稱「方框法」）是一種把乘法視覺化的方法：先依位值把每個因數拆成「十位」和「個位」，再把各個部分積排進一個長方形格子裡。整個長方形的總面積，正好等於兩數相乘的結果。這種方法能讓人真正理解多位數乘法背後的運算原理，並且直接連結到數學上的「分配律」。
如何使用這個計算機
輸入兩個數字，計算機會把每個數字拆成十位部分和個位部分，並填入一個 2×2 的格子：欄標題是第二個數字拆出來的部分，列標題則是第一個數字拆出來的部分。每一格的數值，就是該列標題與欄標題相乘的結果；把四個格子全部加起來，就得到最終答案。
公式說明
假設第一個數字是 \(a + b\)（十位 + 個位），第二個數字是 \(c + d\)，那麼根據分配律：
$$(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$$其中 \(a\) 是第一個數字的十位部分、\(b\) 是它的個位部分；\(c\) 是第二個數字的十位部分、\(d\) 則是它的個位部分。
範例演算：12 × 13
把 12 拆成 \(a = 10\)、\(b = 2\)，把 13 拆成 \(c = 10\)、\(d = 3\)。四個方框分別是：\(ac = 10 \times 10 = 100\)、\(ad = 10 \times 3 = 30\)、\(bc = 2 \times 10 = 20\)、\(bd = 2 \times 3 = 6\)。加總起來：$$100 + 30 + 20 + 6 = 156$$因此 \(12 \times 13 = 156\)。
更多已解答的例題
每個例題將兩個因數都拆成十位和個位（第一個數字用 \(a,b\) 表示，第二個用 \(c,d\) 表示），在 \(2\times2\) 網格中填入四個部分乘積 \(ac, ad, bc, bd\)，然後相加得到最終答案。
例題 1 — 7 × 8（個位數）
對於個位數，沒有十位，所以 \(a=0,\ b=7\) 和 \(c=0,\ d=8\)。網格縮減為一個非零儲存格：
| × | c = 0 | d = 8 |
|---|---|---|
| a = 0 | 0×0 = 0 | 0×8 = 0 |
| b = 7 | 7×0 = 0 | 7×8 = 56 |
部分乘積之和：\(0+0+0+56 = \) 56。所以 \(7\times8 = 56\)。
例題 2 — 23 × 45
拆分因數：\(a=20,\ b=3\) 和 \(c=40,\ d=5\)。
| × | c = 40 | d = 5 |
|---|---|---|
| a = 20 | 20×40 = 800 | 20×5 = 100 |
| b = 3 | 3×40 = 120 | 3×5 = 15 |
相加四個部分乘積：
$$800 + 100 + 120 + 15 = 1035$$所以 \(23\times45 = \) 1035。
例題 3 — 9 × 26
這裡 \(a=0,\ b=9\)（第一個因數是個位數）和 \(c=20,\ d=6\)。
| × | c = 20 | d = 6 |
|---|---|---|
| a = 0 | 0×20 = 0 | 0×6 = 0 |
| b = 9 | 9×20 = 180 | 9×6 = 54 |
相加部分乘積：
$$0 + 0 + 180 + 54 = 234$$所以 \(9\times26 = \) 234。可以用分配律驗證相同的展開式：\(9(20+6)=9\cdot20+9\cdot6\)，得出 234。
如何手工進行面積模型計算
- 將第一個因數拆成十位和個位。 將其寫成 \(a+b\)，其中 \(a\) 是十位部分（例如 23，\(a=20\)）和 \(b\) 是個位部分（\(b=3\)）。
- 以相同方式拆分第二個因數。 將其寫成 \(c+d\)，其中 \(c\) 是十位部分，\(d\) 是個位部分（例如 45，\(c=40,\ d=5\)）。
- 繪製 2×2 網格。 製作一個有兩行兩列的盒子——共四個儲存格。
- 標記行和列。 在左邊放 \(a\) 和 \(b\) 以標記兩行；在頂部放 \(c\) 和 \(d\) 以標記兩列。
- 計算每個儲存格的乘積。 填入四個部分乘積：左上 \(=ac\)、右上 \(=ad\)、左下 \(=bc\)、右下 \(=bd\)。每個儲存格是行標籤乘以列標籤。
- 相加四個部分乘積。 計算 \(ac+ad+bc+bd\)。它們的和是原始兩個數的最終乘積。
- 檢查你的工作。 網格面積等於 \((a+b)(c+d)\)，即你開始計算的乘積，所以各部分之和必須與整體相符。
對於更大的數字（百位或以上），你可以使用相同的方法配合更大的網格——將每個因數拆成百位、十位和個位，並使用 3×3 網格，將每個行部分乘以每個列部分。
主要術語
- 面積模型（盒子方法）
- 一種視覺化乘法策略，將乘積表示為矩形的面積。每個因數被拆分為位值部分，形成一個網格，其儲存格面積（部分乘積）相加等於總數。
- 部分乘積
- 第一個因數的一個位值部分乘以第二個因數的一個位值部分的結果——網格的一個儲存格（\(ac\)、\(ad\)、\(bc\) 或 \(bd\)）。所有部分乘積之和給出最終答案。
- 分配律
- 規則 \((a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd\)。面積模型是此性質的圖形表示：將一個因數的每個部分分配到另一個因數的每個部分。
- 位值
- 數字根據其位置所持有的值——個位、十位、百位等。按位值拆分數字（例如 \(23=20+3\)）是創建網格行和列標籤的原因。
- 因數
- 被相乘的數字。在 \(23\times45\) 中，23 和 45 都是因數；它們的乘積是 1035。
- \(a\) 和 \(b\)
- 第一個因數的十位部分和個位部分，使得第一個因數 \(=a+b\)。對於 23：\(a=20,\ b=3\)。
- \(c\) 和 \(d\)
- 第二個因數的十位部分和個位部分，使得第二個因數 \(=c+d\)。對於 45：\(c=40,\ d=5\)。
常見問題
任何兩個整數都適用嗎？計算機會把每個數字拆成十位部分和個位部分，所以對於一位數和兩位數的運算最為清楚明瞭；更大的數字雖然仍會算出正確的總和，但只會以 2×2 的格子呈現。
每個方框代表什麼意思？每個方框都是一個部分積，也就是一個較小長方形的面積。把四個面積加起來，就是整個大長方形的面積，也就是兩數相乘的結果。
為什麼要教方框法？因為它把位值的概念清楚呈現出來，並把乘法與分配律連結在一起；在學生學習傳統的直式乘法之前，這能幫助他們打好觀念基礎。
