Çarpmada Alan Modeli Nedir?
Alan modeli (kutu yöntemi olarak da bilinir), her bir çarpanı basamak değerlerine — onlar ve birler — ayırarak ve kısmi çarpımları dikdörtgen bir tabloya yerleştirerek sayıları çarpmanın görsel bir yoludur. Dikdörtgenin toplam alanı, iki sayının çarpımına eşittir. Bu yöntem, çok basamaklı çarpmanın aslında nasıl işlediğine dair sağlam bir kavramsal anlayış oluşturur ve doğrudan dağılma özelliği (dağılma kuralı) ile bağlantılıdır.
Bu Aracı Nasıl Kullanırsınız?
İki sayınızı girin; hesaplama aracı her birini bir onlar kısmı ve bir birler kısmı olarak ayırır. Ardından 2×2'lik bir tablo doldurur: sütun başlıkları ikinci sayının parçaları, satır başlıkları ise birinci sayının parçalarıdır. Her hücre, ait olduğu satır ve sütun başlığının çarpımıdır; dört hücrenin tamamını topladığınızda nihai sonuca ulaşırsınız.
Formülün Açıklaması
Birinci sayı a + b (onlar + birler) ve ikinci sayı c + d ise, dağılma özelliğine göre:
$$(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$$
Burada a birinci sayının onlar kısmı, b ise birler kısmıdır; c ikinci sayının onlar kısmı, d ise birler kısmıdır.
Örnek Çözüm: 12 × 13
12'yi \(a = 10\), \(b = 2\) olarak; 13'ü ise \(c = 10\), \(d = 3\) olarak ayıralım. Dört kutu şöyledir: \(ac = 10 \times 10 = 100\), \(ad = 10 \times 3 = 30\), \(bc = 2 \times 10 = 20\), \(bd = 2 \times 3 = 6\). Toplam: $$100 + 30 + 20 + 6 = 156.$$ Yani \(12 \times 13 = 156\).
Daha Fazla Çalışılmış Örnek
Her örnek her iki faktörü onlar ve birler hanesine ayırır (\(a,b\) birinci sayı için ve \(c,d\) ikinci sayı için), dört kısmi çarpım \(ac, ad, bc, bd\) ile bir \(2\times2\) ızgara doldurur, ardından son cevap için bunları toplar.
Örnek 1 — 7 × 8 (tek basamak)
Tek basamaklı sayılarda onlar hanesi olmadığından \(a=0,\ b=7\) ve \(c=0,\ d=8\) olur. Izgara tek bir sıfır olmayan hücreye indirgenir:
| × | c = 0 | d = 8 |
|---|---|---|
| a = 0 | 0×0 = 0 | 0×8 = 0 |
| b = 7 | 7×0 = 0 | 7×8 = 56 |
Kısmi çarpımların toplamı: \(0+0+0+56 = \) 56. Yani \(7\times8 = 56\).
Örnek 2 — 23 × 45
Faktörleri ayır: \(a=20,\ b=3\) ve \(c=40,\ d=5\).
| × | c = 40 | d = 5 |
|---|---|---|
| a = 20 | 20×40 = 800 | 20×5 = 100 |
| b = 3 | 3×40 = 120 | 3×5 = 15 |
Dört kısmi çarpımı topla:
$$800 + 100 + 120 + 15 = 1035$$Yani \(23\times45 = \) 1035.
Örnek 3 — 9 × 26
Burada \(a=0,\ b=9\) (tek basamaklı birinci faktör) ve \(c=20,\ d=6\).
| × | c = 20 | d = 6 |
|---|---|---|
| a = 0 | 0×20 = 0 | 0×6 = 0 |
| b = 9 | 9×20 = 180 | 9×6 = 54 |
Kısmi çarpımları topla:
$$0 + 0 + 180 + 54 = 234$$Yani \(9\times26 = \) 234. Aynı açılım dağıtım özelliği ile kontrol edilebilir: \(9(20+6)=9\cdot20+9\cdot6\), sonuç 234.
El ile Alan Modeli Nasıl Yapılır
- Birinci faktörü onlar ve birler hanesine ayır. Bunu \(a+b\) olarak yaz, burada \(a\) onlar kısmı (örneğin 23 için \(a=20\)) ve \(b\) birler kısmı (\(b=3\)).
- İkinci faktörü aynı şekilde ayır. Bunu \(c+d\) olarak yaz, burada \(c\) onlar kısmı ve \(d\) birler kısmı (örneğin 45 için \(c=40,\ d=5\)).
- 2×2 ızgara çiz. İki satır ve iki sütunlu bir kutu yap — toplam dört hücre.
- Satırları ve sütunları etiketle. Sol tarafa \(a\) ve \(b\) koy iki satırı etiketlemek için; üst tarafa \(c\) ve \(d\) koy iki sütunu etiketlemek için.
- Her hücreyi çarp. Dört kısmi çarpımı doldur: sol üst \(=ac\), sağ üst \(=ad\), sol alt \(=bc\), sağ alt \(=bd\). Her hücre satır etiketi çarpı sütun etiketidir.
- Dört kısmi çarpımı topla. \(ac+ad+bc+bd\) hesapla. Bunların toplamı başladığın iki orijinal sayının son çarpımıdır.
- Çalışmanı kontrol et. Izgara alanı \((a+b)(c+d)\) eşittir, başladığın çarpım, yani parçaların toplamı bütünle eşleşmelidir.
Daha büyük sayılar için (yüzler veya daha fazla) aynı fikri daha büyük bir ızgara ile kullanabilirsin — her faktörü yüzler, onlar ve birler hanesine ayır ve 3×3 ızgara kullan, her satır kısmı her sütun kısmı ile çarparak.
Anahtar Terimler
- Alan modeli (kutu yöntemi)
- Bir çarpımı bir dikdörtgenin alanı olarak temsil eden görsel bir çarpma stratejisi. Her faktör yer değeri parçalarına ayrılır, bir ızgara oluşturur ve hücre alanları (kısmi çarpımlar) toplamı toplama eşittir.
- Kısmi çarpım
- Birinci faktörün bir yer değeri kısmının ikinci faktörün bir yer değeri kısmı ile çarpılması sonucu — ızgaranın bir hücresi (\(ac\), \(ad\), \(bc\), veya \(bd\)). Tüm kısmi çarpımları toplamak son cevabı verir.
- Dağıtım özelliği
- \((a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd\) kuralı. Alan modeli bu özelliğin resmidir: bir faktörün her kısmını diğer faktörün her kısmına dağıtma.
- Yer değeri
- Bir rakamın konumuna dayalı olarak sahip olduğu değer — birler, onlar, yüzler vb. Bir sayıyı yer değeri ile ayırmak (örneğin \(23=20+3\)) ızgaranın satır ve sütun etiketlerini oluşturan şeydir.
- Faktör
- Çarpılan bir sayı. \(23\times45\) de, 23 ve 45 her ikisi de faktördür; çarpımları 1035 dir.
- \(a\) ve \(b\)
- Birinci faktörün onlar kısmı ve birler kısmı, yani birinci faktör \(=a+b\). 23 için: \(a=20,\ b=3\).
- \(c\) ve \(d\)
- İkinci faktörün onlar kısmı ve birler kısmı, yani ikinci faktör \(=c+d\). 45 için: \(c=40,\ d=5\).
Sıkça Sorulan Sorular
Bu yöntem her iki doğal sayı için de işe yarar mı? Her sayıyı bir onlar ve bir birler kısmına ayırdığı için tek ve iki basamaklı sayılarda kusursuz çalışır; daha büyük sayılarda da doğru toplamı verir, ancak yalnızca 2×2'lik bir tablo oluşturur.
Her kutu ne anlama gelir? Her kutu bir kısmi çarpımdır — yani daha küçük bir dikdörtgenin alanıdır. Dört alanı topladığınızda bütün dikdörtgenin alanını, yani çarpımı elde edersiniz.
Kutu yöntemi neden öğretilir? Basamak değerini somut hâle getirir ve çarpmayı dağılma kuralıyla ilişkilendirir; böylece öğrenciler klasik alt alta çarpma yöntemini öğrenmeden önce konuyu daha iyi kavrar.
