什么是角平分线定理？
角平分线定理是欧氏几何中的一条经典结论。在三角形 ABC 中，当角 A 的平分线与对边 BC 相交于点 D 时，它把这条边分成 BD 和 DC 两段，而这两段的长度之比，恰好等于夹角两边的长度之比。用公式表示就是 \(\frac{BD}{DC} = \frac{\text{AB}}{\text{AC}}\)。只要你知道这三条相关边的长度，本计算器就能算出每一段的精确数值。
如何使用本计算器
分别输入 AB 边（与顶点 B 相邻的边）、AC 边（与顶点 C 相邻的边），以及被平分的整条 BC 边的长度。计算器会给出 BD 段（从 B 到平分线落脚点 D）的长度、DC 段（从 D 到 C）的长度，以及 AB:AC 的比例关系。无论数值如何，BD 与 DC 相加始终等于 BC。
公式解析
由于平分线是按相邻两边之比来分割 BC 的，因此我们令 $$BD = \text{BC} \cdot \frac{\text{AB}}{\text{AB} + \text{AC}} \qquad DC = \text{BC} \cdot \frac{\text{AC}}{\text{AB} + \text{AC}}$$ 这两个式子可以直接由比例式 \(\frac{BD}{DC} = \frac{\text{AB}}{\text{AC}}\) 结合 \(BD + DC = BC\) 推导得出。值得注意的是，整个计算并不需要平分线本身的长度——决定比例的，只有那两条相邻的边。
实例演算
假设 \(AB = 8\)、\(AC = 4\)、\(BC = 9\)。两边之和 \(AB + AC = 12\)，于是 $$BD = \frac{9 \times 8}{12} = 6 \qquad DC = \frac{9 \times 4}{12} = 3$$ 验证一下：\(6 + 3 = 9 = BC\)，而比值 \(6:3 = 2:1\)，正好与 \(AB:AC = 8:4 = 2:1\) 相符。可见角平分线总是把对边切得更靠近那条较短的相邻边。
不同三角形中的线段分割
角平分线定理将对边 \(BC\) 分成两部分 \(BD\) 和 \(DC\)，其长度比遵循两条相邻边的比 \(AB:AC\)。当两条相邻边相等时，平分线恰好落在中点；边的差异越大，垂足 \(D\) 就越靠近较短的边。下表展示了三个典型案例。
| 案例 | AB | AC | BC | BD | DC | AB : AC |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 均衡（等腰） | 6 | 6 | 10 | 5 | 5 | 1 : 1 |
| 中等 | 8 | 4 | 9 | 6 | 3 | 2 : 1 |
| 倾斜 | 10 | 2 | 6 | 5 | 1 | 5 : 1 |
中等案例的计算验证：当 \(AB = 8\)、\(AC = 4\)、\(BC = 9\) 时，
$$BD = BC \cdot \frac{AB}{AB + AC} = 9 \cdot \frac{8}{8 + 4} = 9 \cdot \frac{8}{12} = 6,$$ $$DC = BC \cdot \frac{AC}{AB + AC} = 9 \cdot \frac{4}{12} = 3.$$两个线段相加得 \(BD + DC = 6 + 3 = 9 = BC\)，比例 \(BD:DC = 6:3 = 2:1\) 与 \(AB:AC = 8:4 = 2:1\) 相符，证实了该定理。
关键术语和变量
- 三角形 ABC — 三个顶点标记为 \(A\)、\(B\) 和 \(C\) 的三角形。此工具中的平分线从顶点 \(A\) 绘制到对边 \(BC\)。
- 顶点 A — 绘制角平分线的顶点。在 \(A\) 处的内角（角 \(\angle BAC\)）是被分成两个相等半角的角。
- 角平分线 — 将角分成两个相等角的线或线段。从 \(A\) 的平分线将 \(\angle BAC\) 分成两个相等的角。
- 点 D（平分线的垂足） — 从 \(A\) 的平分线与对边 \(BC\) 相交的点。对于内平分线，它位于 \(B\) 和 \(C\) 之间。
- 线段 BD — 从顶点 \(B\) 到垂足 \(D\) 的边 \(BC\) 的部分。它与相邻边 \(AB\) 成比例。
- 线段 DC — 从垂足 \(D\) 到顶点 \(C\) 的边 \(BC\) 的部分。它与相邻边 \(AC\) 成比例。\(BD + DC = BC\)。
- AB : AC 比例 — 与顶点 \(A\) 相邻的两条边的比例。角平分线定理指出 \(\dfrac{BD}{DC} = \dfrac{AB}{AC}\)，因此此比例直接控制 \(BC\) 如何分割。
- 内平分线与外平分线 — 内平分线分割内角，并在 \(B\) 和 \(C\) 之间与 \(BC\) 相交（这里处理的情况）。外平分线分割补充的外角，并在线段外与线 \(BC\) 相交，以相同的比例 \(AB:AC\) 外分。
常见问题
这个工具适用于外角平分线吗？ 不适用。本工具处理的是内角平分线，得到的是对 BC 的内分；外角平分线则会对 BC 进行外分。
如果 AB 等于 AC 会怎样？ 那么三角形在顶点 A 处是等腰的，平分线恰好落在 BC 的中点上，此时 \(BD = DC\)。
我需要知道角的度数吗？ 不需要。该定理只取决于各边的长度，与角的具体度数无关。
