ما هي حاسبة زاوية عقارب الساعة؟
تحسب هذه الأداة الزاوية المحصورة بين عقرب الساعات وعقرب الدقائق في الساعة العقاربية (التناظرية) عند أي توقيت تختاره. وهي لغز رياضي كلاسيكي يتكرر كثيرًا في مقابلات العمل والاختبارات، كما أنها مفيدة في تدريس الهندسة، والتعامل مع آليات الساعات، أو لمجرد إشباع الفضول. أدخل الساعة والدقيقة، وستعرض لك الأداة الزاوية الصغرى (غير المنعكسة) والزاوية المنعكسة معًا.
طريقة الاستخدام
اكتب رقم الساعة (من 0 إلى 12) ورقم الدقيقة (من 0 إلى 59)، ثم اقرأ النتيجة مباشرة. فعلى سبيل المثال، عند الساعة 3:00 يشكّل العقربان زاوية قائمة تامة مقدارها 90°. وتراعي الحاسبة تلقائيًا أن عقرب الساعات يتحرك باستمرار مع مرور الدقائق، فهو لا يبقى ثابتًا عند الرقم.
شرح القانون
يقطع عقرب الدقائق دورة كاملة قدرها 360° خلال 60 دقيقة، أي أنه يتحرك بمعدل 6° في الدقيقة الواحدة. أما عقرب الساعات فيقطع 360° خلال 12 ساعة (720 دقيقة)، أي بمعدل 0.5° في الدقيقة. وبالقياس من موضع الساعة 12، يكون عقرب الساعات عند الزاوية \(30H + 0.5M\) درجة، ويكون عقرب الدقائق عند الزاوية \(6M\) درجة. والفرق بينهما هو:
$$\theta = \left| (30H + 0.5M) - 6M \right| = \left| 30H - 5.5M \right|$$
وإذا تجاوزت هذه القيمة 180°، نطرحها من 360° لنحصل على الزاوية الأصغر المحصورة بين العقربين.
مثال محلول
عند الساعة 3:30 يكون \(H = 3\) و \(M = 30\). إذن \(30 \times 3 = 90\)، و\(5.5 \times 30 = 165\). والفرق هو $$\left| 90 - 165 \right| = 75^\circ$$ وبما أن 75° ≤ 180°، فإن الزاوية بين العقربين عند 3:30 تساوي 75°، بينما تكون الزاوية المنعكسة \(360 - 75 = 285^\circ\).
زوايا الساعة في الأوقات الشائعة
تُوجد الزاوية بين عقرب الساعات وعقرب الدقائق باستخدام الصيغة \(\theta = |30H - 5.5M|\)، حيث \(H\) هي الساعة (mod 12) و\(M\) هي الدقائق. إذا تجاوزت النتيجة 180°، فإن الزاوية الأصغر (غير المنعكسة) هي \(360^\circ - \theta\). يوضح الجدول أدناه الزاوية غير المنعكسة لمجموعة من الأوقات الشائعة.
| الوقت | الحساب \(|30H-5.5M|\) | الزاوية غير المنعكسة |
|---|---|---|
| 12:00 | |30·0 − 5.5·0| = 0 | 0° |
| 1:00 | |30·1 − 5.5·0| = 30 | 30° |
| 2:00 | |30·2 − 5.5·0| = 60 | 60° |
| 3:00 | |30·3 − 5.5·0| = 90 | 90° |
| 4:00 | |30·4 − 5.5·0| = 120 | 120° |
| 5:00 | |30·5 − 5.5·0| = 150 | 150° |
| 6:00 | |30·6 − 5.5·0| = 180 | 180° |
| 7:00 | |30·7 − 5.5·0| = 210 → 360−210 | 150° |
| 8:00 | |30·8 − 5.5·0| = 240 → 360−240 | 120° |
| 9:00 | |30·9 − 5.5·0| = 270 → 360−270 | 90° |
| 10:00 | |30·10 − 5.5·0| = 300 → 360−300 | 60° |
| 11:00 | |30·11 − 5.5·0| = 330 → 360−330 | 30° |
| 3:15 | |30·3 − 5.5·15| = |90 − 82.5| = 7.5 | 7.5° |
| 6:30 | |30·6 − 5.5·30| = |180 − 165| = 15 | 15° |
| 9:45 | |30·9 − 5.5·45| = |270 − 247.5| = 22.5 | 22.5° |
| 12:30 | |30·0 − 5.5·30| = 165 | 165° |
أمثلة عملية إضافية
يطبق كل مثال \(\theta = |30H - 5.5M|\)، ثم يتحقق مما إذا كانت النتيجة أكثر من 180° (وفي هذه الحالة يُبلّغ عن الزاوية المنعكسة بشكل منفصل).
المثال 1 — 9:30 (حالة زاوية منعكسة)
- الساعة \(H = 9\)، الدقيقة \(M = 30\).
- \(30 \cdot 9 = 270\) و\(5.5 \cdot 30 = 165\).
- \(\theta = |270 - 165| = 105\).
- بما أن 105° أقل من 180°، فإن الزاوية غير المنعكسة هي 105°، والزاوية المنعكسة هي \(360 - 105 = 255^\circ\).
المثال 2 — 12:00 (تطابق العقارب)
- الساعة \(H = 12\)، وهي \(12 \bmod 12 = 0\)؛ الدقيقة \(M = 0\).
- \(30 \cdot 0 = 0\) و\(5.5 \cdot 0 = 0\).
- \(\theta = |0 - 0| = 0\).
- العقارب تتطابق تماماً، لذا الزاوية هي 0°.
المثال 3 — 4:20 (موضع كسري)
- الساعة \(H = 4\)، الدقيقة \(M = 20\).
- \(30 \cdot 4 = 120\) و\(5.5 \cdot 20 = 110\).
- \(\theta = |120 - 110| = 10\).
- الفجوة الصغيرة البالغة 10° تعكس أن عقرب الساعات قد انزاح بالفعل ثلثي الطريق من الرقم 4 نحو الرقم 5 في الدقيقة 20، وهو يقترب تقريباً من عقرب الدقائق عند علامة الرقم 4. يلتقط معامل \(5.5\) هذا: عقرب الدقائق يتحرك 6°/دقيقة بينما عقرب الساعات يتحرك 0.5°/دقيقة، بسرعة نسبية قدرها 5.5°/دقيقة.
الأسئلة الشائعة
لماذا ليست زاوية الساعة 3:30 مساوية لـ 90° بالضبط؟ لأنه بمرور 30 دقيقة يكون عقرب الساعات قد تحرك إلى منتصف المسافة باتجاه الرقم 4، مما يقلّص الزاوية إلى 75°.
ما هي الزاوية المنعكسة؟ هي الزاوية الأكبر (التي تتجاوز 180°) والمقيسة من الجهة الأخرى حول الساعة؛ ومجموع الزاويتين يساوي دائمًا 360°.
هل يمكنني إدخال الرقم 12؟ نعم، فالرقم 12 يُعامَل تمامًا مثل الرقم 0، لأن عقرب الساعات يعود إلى أعلى قرص الساعة.
