ما هي حاسبة القوس؟
تقوم حاسبة القوس بحساب هندسة القوس الدائري (القطعي) انطلاقًا من قياسين بسيطين فقط: العرض (الوتر الأفقي الممتد عبر الفتحة) والارتفاع (المسافة العمودية من الوتر إلى أعلى نقطة في المنحنى). ومن هذين القياسين تستخرج الحاسبة نصف قطر الدائرة التي يشكّل القوس جزءًا منها، والقطر، وطول الخط المنحني، والزاوية التي يحصرها القوس عند مركز الدائرة. إنها أداة هندسية عامة مفيدة للبنّائين والنجّارين وحرفيي الخشب ومنشئي الديكورات وكل من يخطّط فتحة منحنية أو يصنع قالبًا لها.
كيفية الاستخدام
أدخل العرض والارتفاع بالوحدة نفسها (سنتيمترات أو بوصات أو أمتار — وستعود النتيجة بالوحدة ذاتها). ثم اضغط على زر الحساب. يعرض المربع الرئيسي نصف القطر، بينما يبيّن الجدول طول القوس والقطر والزاوية المحصورة بالدرجات. ولرسم المنحنى على أرض الواقع، ثبّت خيطًا بطول نصف القطر المحسوب عند نقطة المركز (التي تقع على بُعد الارتفاع − نصف القطر أسفل القمة، أي قد يكون المركز تحت خط النهوض) ثم أدِر الخيط لتخطيط القوس.
شرح المعادلة
إذا كان طول الوتر s (العرض) والارتفاع h، فإن نصف قطر الدائرة الحاوية يُحسب بالعلاقة:
$$R = \frac{s^{2}}{8 \cdot h} + \frac{h}{2}$$أما المسافة العمودية من مركز الدائرة إلى الوتر فهي \(d = R - h\). ونصف الزاوية التي يحصرها الوتر هو \(\theta/2 = \operatorname{atan2}(s/2,\, d)\)، ومن ثَمّ تكون الزاوية المركزية الكاملة $$\theta = 2 \cdot \operatorname{atan2}\!\left(\frac{s}{2},\, R - h\right)$$ ويُحسب طول القوس بالعلاقة \(L = R \cdot \theta\) (حيث \(\theta\) بالراديان). واستخدام دالة atan2 يحافظ على صحة النتيجة حتى عندما يتجاوز القوس نصف الدائرة.
مثال محلول
نصف الدائرة المثالي له عرض يساوي 10 وارتفاع يساوي 5. عندئذٍ \(R = 100/40 + 2.5 = 2.5 + 2.5 = 5\). ويقع المركز على الوتر (\(d = R - h = 0\))، فتكون \(\theta = 2 \cdot \operatorname{atan2}(5, 0) = 2 \cdot 90° = 180°\). وطول القوس \(= R \cdot \theta = 5 \times \pi = 15.708\). ويبلغ طول كل نصف منه 7.854.
هندسة القوس عبر سيناريوهات الفتحة والارتفاع الشائعة
بالنسبة للقوس الدائري (الجزئي)، الفتحة \(S\) (الوتر الأفقي عبر الفتحة) والارتفاع \(H\) (الارتفاع من خط الانطلاق إلى القمة) يحددان كليّاً هندستها. يتبع نصف القطر من \(R = \tfrac{S^2}{8H} + \tfrac{H}{2}\)؛ ومن هناك الزاوية المركزية هي \(\theta = 2\arctan\!\left(\tfrac{S/2}{\,R-H\,}\right)\) وطول القوس هو \(L = R\theta\) (مع \(\theta\) بالراديان).
الجدول أدناه يحافظ على الفتحة ثابتة عند 1000 مم ويزيد الارتفاع، بحيث يمكنك أن ترى كيف أن القوس الأفقي يتطلب نصف قطر أكبر بكثير وزاوية مركزية أصغر، بينما يقترب القوس العميق من نصف دائرة ثم يتجاوزها.
| نوع القوس | الفتحة S (مم) | الارتفاع H (مم) | نصف القطر R (مم) | القطر (مم) | الزاوية المركزية θ | طول القوس L (مم) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| جزئي ضحل | 1000 | 150 | 908.3 | 1816.7 | 67.4° | 1068.6 |
| جزئي أفقي | 1000 | 250 | 625.0 | 1250.0 | 106.3° | 1159.3 |
| نصف دائري | 1000 | 500 | 500.0 | 1000.0 | 180.0° | 1570.8 |
| حدوة الحصان | 1000 | 600 | 508.3 | 1016.7 | 241.9° | 2146.4 |
لاحظ أنه عند \(H = S/2\) يكون القوس نصف دائري بالضبط (\(R = S/2\), \(\theta = 180^\circ\)). عندما يتجاوز الارتفاع نصف الفتحة، ينحني المنحنى عبر أعرض نقطة من الدائرة، مما ينتج الشكل المقعر لحدوة الحصان مع زاوية مركزية تزيد عن \(180^\circ\).
المصطلحات والمتغيرات الرئيسية
- الفتحة (S)
- المسافة الأفقية الحرة عبر فتحة القوس، مقاسة بين نقطتي الانطلاق. في هندسة الدائرة هي وتر القوس.
- الارتفاع (H)
- الارتفاع العمودي من خط الانطلاق إلى أعلى نقطة في القوس (القمة). النسبة \(H/S\) تصف مدى ضحالة أو عمق القوس.
- نصف القطر (R)
- نصف قطر الدائرة التي يكون منحنى القوس جزءاً منها، مُعطى بـ \(R = S^2/(8H) + H/2\). يتم رسم القوس بتدوير هذا نصف القطر من نقطة المركز.
- القطر
- ضعف نصف القطر، \(d = 2R\) — العرض الكامل للدائرة الأساسية.
- الوتر
- خط مستقيم يربط نقطتين على الدائرة. بالنسبة لقوس جزئي، الفتحة هي الوتر الذي يقابل القوس.
- طول القوس (L)
- الطول المقاس على طول الانحناء الداخلي (أو أي قوس متحد المركز)، مساوٍ \(L = R\theta\) مع الزاوية المركزية \(\theta\) بالراديان.
- الزاوية المركزية (θ)
- الزاوية المقابلة في مركز الدائرة من قبل القوس، \(\theta = 2\arctan\!\big(\tfrac{S/2}{R-H}\big)\). تساوي 180° لنصف الدائرة وأكثر من 180° لقوس حدوة الحصان.
- خط الانطلاق
- المستوى الأفقي الذي يبدأ عنده القوس في الانحناء بعيداً عن الدعامات العمودية؛ تُقاس الفتحة على طول هذا الخط.
- القمة / الذروة
- أعلى نقطة في القوس، حيث يتم قياس الارتفاع إليها. تقع القمة مباشرة فوق منتصف الفتحة.
- قوس جزئي
- قوس منحنى هو جزء من دائرة أقل من نصف دائرة (\(H < S/2\))، مما يعطي ملف أفقي وقطراً أكبر من نصف الفتحة.
- قوس نصف دائري
- قوس يكون بالضبط نصف دائرة، يحدث عندما يساوي الارتفاع نصف الفتحة (\(H = S/2\))، بحيث \(R = S/2\) و\(\theta = 180^\circ\).
- قوس حدوة الحصان
- قوس يستمر بعد أعرض نقطة من الدائرة (\(H > S/2\))، ينحني للداخل عند الانطلاق بحيث تكون الفتحة أضيق من قطر الدائرة؛ تتجاوز زاويته المركزية 180°.
الأسئلة الشائعة
ماذا لو كان الارتفاع يساوي نصف العرض؟ يكون القوس نصف دائرة كاملة؛ فيساوي نصف القطر الارتفاع، وتكون الزاوية 180°.
هل يمكن أن يكون الارتفاع أكبر من نصف العرض؟ نعم — عندئذٍ يتجاوز القوس نصف الدائرة (ويُسمى القوس "الحدوي" أو على شكل حدوة حصان) ويقع المركز فوق الوتر؛ ومع ذلك تظل دالة atan2 تعطي الزاوية الصحيحة.
ما الوحدات التي ينبغي استخدامها؟ أي وحدة، طالما يشترك العرض والارتفاع في الوحدة نفسها؛ إذ تصدر جميع النتائج بهذه الوحدة ذاتها.
